¿como de determina la ecuación de una parábola a partir de la ecuación de la directriz y las coordenadas del foco?
Respuestas
Respuesta:
Dado el foco y la directriz de una parábola , como encontramos la ecuación de la parábola?
Si consideramos solamente las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo, entonces la directriz será una recta horizontal de la forma y = c .
Digamos que ( a , b ) es el foco y digamos que y = c es la directriz. Digamos que ( x 0 , y 0 ) es cualquier punto en la parábola.
Cualquier punto, ( x 0 , y 0 ) en la parábola satisface la definición de parábola, así que hay dos distancias para calcular:
Distancia entre el punto en la parábola al foco
Distancia entre el punto en la parábola a la directriz
Para encontrar la ecuación de la parábola, iguale esas dos expresiones y resuelva para y 0 .
Encuentre la ecuación de la parábola en el ejemplo anterior.
Distance entre el punto ( x 0 , y 0 ) y ( a , b ):
Distance entre el punto ( x 0 , y 0 ) y la recta y = c :
(Aquí, la distancia entre el punto y la recta horizontal es la diferencia de sus coordenadas en y .)
Iguale las dos expresiones.
Eleve al cuadrado ambos lados.
Desarrolle la expresión en y 0 en ambos lados y simplifique.
Esta ecuación en ( x 0 , y 0 ) es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con ( x , y ).
Por lo tanto, la ecuación de la parábola con foco ( a , b ) y directriz y = c es
EJEMPLO
Si el foco de una parábola es (2, 5) y la directriz es y = 3, encuentre la ecuación de la parábola.
Digamos que ( x 0 , y 0 ) es cualquier punto en la parábola. Encuentre la distancia entre ( x 0 , y 0 ) y el foco. Luego encuentre la distancia entre ( x 0 , y 0 ) y la directriz. Iguale estas dos ecuaciones de distancia y la ecuación simplificada en x 0 y y 0 es la ecuación de la parábola.
La distancia entre ( x 0 , y 0 ) y (2, 5) es
La distancia entre ( x 0 , y 0 ) y la directriz, y = 3 es
| y 0 – 3|.
Iguale las dos expresiones de distancia y eleve al cuadrado ambos lados.
Simplifique y coloque todos los términos en un lado:
Escriba la ecuación con y 0 en un lado:
Esta ecuación en ( x 0 , y 0 ) es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con ( x , y ).
Así, la ecuación de la parábola con foco (2, 5) y directriz y = 3 es