Question

Se sabe que si x, y representan las

cantidades de dos bienes que se

consumen, la función U (x,y) = elevado a 0.7 elevado a 0.3


representa el nivel de satisfacción que

se obtiene al consumir dichos bienes.

Suponiendo que los precios de cada uno

son $10 y $15 respectivamente y que se

dispone de $3000 para consumir

completamente en estos dos bienes,

determinar la cantidad de bienes que se

consumen de cada uno, tal que se

maximice la satisfacción

Answer 1

Consumiendo cantidades    x  =  210    ^    y  =  60    se maximiza la satisfacción al consumir dichos bienes.  

Explicación:

Los valores máximos y mínimos de una función con restricciones se obtienen usando el método de los multiplicadores de Lagrange.  

El método inicia por la construcción de una función L, compuesta por la suma de la función objetivo  U  y el producto de la función restricción    g  =  0    por el multiplicador de Lagrange  α

L  =  U  +  αg

En el caso planteado:

$\bold{U=x^{0.7}y^{0.3} \qquad \qquad g=10x+15y-3000}$

$\bold{L=x^{0.7}y^{0.3}+\alpha(10x+15y-3000)}$

Luego se hallan los extremos de L, los cuales coinciden con los extremos de la función objetivo U, pero con una dimensión menos.

Primero, hallamos los puntos críticos de L. Esto es derivar L con respecto a cada una de sus variables e igualar a cero todas ellas. Los puntos que satisfacen ese sistema de ecuaciones son los puntos críticos de L.

$\left \{ {{L_{x} =0.7 x^{-0.3}y^{0.3}+10\alpha=0 }\\ \atop \left\L_{y} =0.3 x^{0.7}y^{-0.7}+15\alpha=0 } \atop {L_{\alpha } =10x+15y-3000=0 }} \right. }\right.$

La solución del sistema arroja un punto crítico:

x  =  210        

y  =  60  

Segundo, construimos el Hessiano o determinante formado por derivadas de segundo orden que nos permitirán decidir si el punto crítico es un mínimo, Hessiano negativo, o un máximo, Hessiano positivo.

$H=\left[\begin{array}{ccc}0&g_{x}&g_{y}\\g_{x}&L_{xx} &L_{xy}\\g_{y}&L_{yx}&L_{yy}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0&10&15\\10&-0.21x^{-1.3}y^{0.3}&0.21x^{-0.3}y^{-0.7}\\15&0.21x^{-0.3}y^{-0.7}&-0.21 x^{0.7}y^{-1.7}\end{array}\right]$

$\bold{H=63x^{-0.3}y^{-0.7}+47.25x^{-1.3}y^{0.3}+21x^{0.7}y^{-1.7}}$

Tercero, evaluamos H en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

H(210, 60)  >  0  (positivo)    ⇒    U  tiene un máximo en el punto (210, 60)

Conclusión:

Consumiendo cantidades    x  =  210    ^    y  =  60    se maximiza la satisfacción al consumir dichos bienes.