una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 m3 el material para el suelo la tapa de la caja cuestan $75 pesos por metro cuadrado el material para los lados cuesta $50 pesos por metro cuadrado, ¿cual es el costo minimo de la caja?

Respuestas

Respuesta dada por: Anónimo
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El coste mínimo de la caja es 13.628,41 $ y se consigue cuando la longitud de la base es 5.50 m

Para poder hallar el coste mínimo de la caja, primero debemos plantear ciertas ecuaciones que nos ayuden a resolver este problema, la primera es

x²h = 250

Donde x es la longitud del lado de la base y h la altura de la caja, de esta ecuación, podemos despejar h , lo que nos da

h = 250/x²

Las otras ecuaciones son

C1 = 2*75*x² = 150x²

Que es el coste de la tapa y la base de la caja, el coste de las paredes es

C2 = 4*50*x*h = 200x*h = 200*x*250/x² = 50.000/x

Ahora, el coste total es la suma de los dos costos, por lo tanto

C(x) = 150x² + 50.000/x

Y necesitamos minimizar esta función, por lo que la necesitamos derivar e igualar a cero, lo que nos da

C'(x) = 300x - 50.000/x² = 0

3x = 500/x²

x³ = 500/3

x ≈ 5.50

Es decir, la medida de x = 5.50 minimiza el coste, por lo que nos da un coste mínimo de

C(5.50) = 150(5.5)² + 50.000/5.5 = 13.628,41 $

Es decir, el coste mínimo de la caja es 13.628,41 $

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