una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 m3 el material para el suelo la tapa de la caja cuestan $75 pesos por metro cuadrado el material para los lados cuesta $50 pesos por metro cuadrado, ¿cual es el costo minimo de la caja?
Respuestas
El coste mínimo de la caja es 13.628,41 $ y se consigue cuando la longitud de la base es 5.50 m
Para poder hallar el coste mínimo de la caja, primero debemos plantear ciertas ecuaciones que nos ayuden a resolver este problema, la primera es
x²h = 250
Donde x es la longitud del lado de la base y h la altura de la caja, de esta ecuación, podemos despejar h , lo que nos da
h = 250/x²
Las otras ecuaciones son
C1 = 2*75*x² = 150x²
Que es el coste de la tapa y la base de la caja, el coste de las paredes es
C2 = 4*50*x*h = 200x*h = 200*x*250/x² = 50.000/x
Ahora, el coste total es la suma de los dos costos, por lo tanto
C(x) = 150x² + 50.000/x
Y necesitamos minimizar esta función, por lo que la necesitamos derivar e igualar a cero, lo que nos da
C'(x) = 300x - 50.000/x² = 0
3x = 500/x²
x³ = 500/3
x ≈ 5.50
Es decir, la medida de x = 5.50 minimiza el coste, por lo que nos da un coste mínimo de
C(5.50) = 150(5.5)² + 50.000/5.5 = 13.628,41 $
Es decir, el coste mínimo de la caja es 13.628,41 $