Question

1. Una empresa dedicada a la búsqueda de petróleo, en 10% de sus perforaciones,
encuentra petróleo. Si la compañía perfora 5 pozos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos se encuentre
petróleo?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 lo tengan?
C. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos tengan petróleo?
d. ¿Entre 2 y 4 tengan petróleo?

Answer 1

En la muestra de 5 pozos, se estima una probabilidad de 0,0729 de que exactamente 2 de ellos tengan petróleo.

Explicación:  

Vamos a considerar que cada pozo, de   n   pozos disponibles, es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si el tiene petróleo o no. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.  

Un experimento aleatorio que consiste de   n   ensayos repetidos tales que:  

1. Los ensayos son independientes,  

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y  

3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por    p,    permanece constante recibe el nombre de experimento binomial.  

La variable aleatoria    X    que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros    p    y     n = 1, 2, 3, ...  

La Probabilidad de    X  =  x  es:        $\bold{P(X=x)=(\begin{array}{c}n\\x\end{array}) p^x (1-p)^(n-x)}$

donde    $(\begin{array}{c}n\\x\end{array})$    es el número combinatorio:  

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})=\frac{n!}{(n-x)!x!}}$  

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial  

X  =  Número de pozos en la muestra que tienen petróleo  

p  =  0,1 (10%)  

n  =  5

a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos se encuentre petróleo?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual que 2:  

$P(x=2)=(\begin{array}{c}5\\2\end{array}) (0.1)^2 (1-0.1)^(5-2) \qquad \Rightarrow$

P(x=2)  =  0.0729

Hay una probabilidad de 0.0729 de que exactamente 2 pozos, de la muestra de 5, tengan petróleo.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 lo tengan?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea igual que 3, 4 o 5: $P(x\geq3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5) \qquad \Rightarrow$

$P(x\geq3)=(\begin{array}{c}5\\3\end{array})(0.1)^3 (1-0.1)^(5-3)+(\begin{array}{c}5\\4\end{array})(0.1)^4 (1-0.1)^(5-4)+(\begin{array}{c}5\\5\end{array})(0.1)^5 (1-0.1)^(5-5)\qquad \Rightarrow$

$\bold{P(x\geq3)=0.0081+0.00045+0.00001=00856}$

Hay una probabilidad de 0.00856 de que al menos 3 pozos, de la muestra de 5, tengan petróleo.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos tengan petróleo?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual que 0, 1 o 2:  

$P(x\leq2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) \qquad \Rightarrow$

$P(x\leq2)=(\begin{array}{c}5\\0\end{array})(0.1)^0 (1-0.1)^(5-0)+(\begin{array}{c}5\\1\end{array})(0.1)^1 (1-0.1)^(5-1)+(\begin{array}{c}5\\2\end{array})(0.1)^2 (1-0.1)^(5-2)\qquad \Rightarrow$

$\bold{P(x\leq2)=0.59049+0.32805+0.0729=0.9271}$

P(x  ≤  2)  =  0.9271  

Hay una probabilidad de 0.9271 de que a lo sumo 2 pozos, de la muestra de 5, tengan petróleo.

d. ¿Entre 2 y 4 tengan petróleo?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual que 2, 3 o 4:  

$P(2 \leq x \leq 4)=P(x=2)+P(x=3)+P(x=4) \qquad \Rightarrow$

$P(2 \leq x \leq 4)=(\begin{array}{c}5\\2\end{array})(0.1)^2 (1-0.1)^(5-2)+(\begin{array}{c}5\\3\end{array})(0.1)^3 (1-0.1)^(5-3)+(\begin{array}{c}5\\4\end{array})(0.1)^4 (1-0.1)^(5-4)\qquad \Rightarrow$

$\bold{P(2 \leq x \leq 4)=0.0729+0.0081+0.00045=0.08145}$

P(2  ≤  x  ≤  4)  =  0.08145  

Hay una probabilidad de 0.08145 de que entre 2 y 4 pozos, de la muestra de 5, tengan petróleo.