Question

¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]? y Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen.

Answer 1

Al estudiar en específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por f''(x)=3x²-10x+14, lo que ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6] es 177.75, la función no posee puntos máximos ya que siempre está creciendo y tiene un mínimo en t=0, cuyo valor es 2.

1. a) Nos dicen que la aceleración de la partícula es f''(x)=3x²-10x+14. Para conocer la función velocidad, integramos esta función:

V=f'(x)=∫f''(x)=?3x²-10x+14

∫f''(x)=$\int\ {3x^{2}}\, dx-\int\ {10x} \, dx +\int\ {14} \, dx$

$f'(x)=x^{3}-5x^{2}+14x+C$

Donde C=constante

Como nos dicen que la velocidad en t=0 es 0 m/s, entonces:

$f'(0)=(0)^{3}-5(0)^{2}+14(0)+C=0$ ⇔ C=0

Luego la función velocidad es:

$f'(x)=x^{3}-5x^{2}+14x$

1. b) Para calcular la función posición, integramos la función de velocidad, esto es:

f(x)=∫f'(x)=$\int\ {x^{3}-5x^{2}+14x} \, dx =\int\ {x^{3}} \, dx-\int\ {5x^{2}} \, dx+\int\ {14x} \, dx=\frac{x^{4}}{4}-\frac{5x^{3}}{3} +7x^{2}+C$

Como la función de posición toma el valor de 2 cuando t=0, luego:

$f(0)=\frac{(0)^{4}}{4}-\frac{5(0)^{3}}{3} +7(0)^{2}+C=2$ ⇔ C=2

Luego, la función posición queda:

$f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{5x^{3}}{3} +7x^{2}+2$

1. c) Para calcular cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3, 6], debemos efectuar la diferencia entre los valores de la función posición en esos dos puntos: f(6)-f(3)

$f(6)=\frac{(6)^{4}}{4}-\frac{5(6)^{3}}{3} +7(6)^{2}+2$

f(6)=218

$f(3)=\frac{(3)^{4}}{4}-\frac{5(3)^{3}}{3} +7(3)^{2}+2$

f(3)=40.25

El recorrido de la partícula fue:

f(6)-f(3)=218-40.25=177.75

1. d) Para calcular los puntos máximos y mínimos de la función de posición, debemos conseguir aquellos puntos en los que la derivada de la función posición se hace cero, esto es, los puntos en los que el valor de la velocidad es cero:

f'(x)=0 ⇔ $x^{3}-5x^{2}+14x=0$

Las raíces de esta ecuación son:

$X1=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{31} }{2}i$

$X2=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{31} }{2}i$

$X3=0$

Luego, sabemos que X3=0 es un punto de posición mínima, ya que desde ese momento parte la partícula en la posición 2. Además, vemos que los otros dos puntos en los que la derivada de la función posición se hace cero son imaginarios, por lo tanto no se tomarán en cuenta para la solución. Así, la función posición toma valor mínimo en t=0 y no toma valores máximos.

1. e) La razón de cambio promedio de la función posición en un intervalo de tiempo se determina de la siguiente manera:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}$

Siendo:

x2=tiempo final del intervalo

X1=tiempo inicial del intervalo

Luego, calculando razón de cambio promedio en [2,4]:

x1=2

x2=4

$f(x1)=\frac{(2)^{4}}{4}-\frac{5(2)^{3}}{3} +7(2)^{2}+2=20.67$

$f(x2)=\frac{(4)^{4}}{4}-\frac{5(4)^{3}}{3} +7(4)^{2}+2=71.33$

Por lo tanto:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{71.33-20.67}{4-2}=25.33$

Calculando razón de cambio promedio en [5,6]:

x1=5

x2=6

$f(x1)=\frac{(5)^{4}}{4}-\frac{5(5)^{3}}{3} +7(5)^{2}+2=124.92$

$f(x2)=\frac{(6)^{4}}{4}-\frac{5(6)^{3}}{3} +7(6)^{2}+2=218$

Por lo tanto, la razón de cambio promedio en este intervalo es:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{218-124.92}{6-5}=93.08$

2. a) Lo que nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés es que en el intervalo [5,6] la función posición está aumentando más rápido que en el intervalo [2,4], lo que a su vez nos dice que la partícula está recorriendo cada vez más distancia en la misma cantidad de tiempo, es decir, la partícula está acelerada.

2. b) Imaginando que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos, la utilidad que tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar es que nos dice si estamos aumentando o disminuyendo la cantidad de ingresos con el tiempo. En un negocio familiar, un resultado parecido al que obtuvimos acá implicaría que se están produciendo más ingresos en la misma cantidad de tiempo, lo cual es positivo.

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