Question

Una compañía de petróleo posee tres refinerías A, B y C que producen las siguientes cantidades(en litros) de fuel, gasóleo y gasolina por cada barril de crudo
A B C
FUEL 50 30 75
GASOLEO 30 65 40
GASOLINA 70 55 30

Si la demanda de fuel, gasóleo y gasolina es de 10775000, 8675000 y 10175000 litros
respectivamente. ¿Cuántos barriles de crudo necesitarán cada refinería para satisfacer la demanda?

Answer 1

De cada refinería se necesitan:    A  =  70000,    B  =  55000,    C  =  75000,    barriles de crudo para satisfacer la demanda de fuel, gasóleo y gasolina.  

Explicación paso a paso:  

¿Quienes son las incógnitas?  

Llamaremos:  

A  =  cantidad de barriles de crudo procesados en la refinería A.  

B  =  cantidad de barriles de crudo procesados en la refinería B.  

C  =  cantidad de barriles de crudo procesados en la refinería C.

¿Cuáles son las ecuaciones?  

De la información aportada planteamos el sistema de ecuaciones:  

50A  +  30B  +  75C  =  10775000  

30A  +  65B  +  40C  =  8675000  

70A  +  55B  +  30C  =  10175000  

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:  

1.- Se construye una matriz con los coeficientes del sistema y se amplia con el vector de términos independientes :

$\left[\begin{array}{cccc}50&30&75&10775000\\30&65&40&8675000\\70&55&30&10175000\end{array}\right]$

2.- Se realizan operaciones hasta lograr la forma triangular inferior de la matriz identidad. (diagonal principal rellena de unos y el resto rellena de ceros)  

Multiplicamos la primera fila por  ¹/₅₀  para obtener uno en la primera posición de la primera fila; es decir, la esquina superior izquierda o inicio de la diagonal principal.  

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{5}&\frac{3}{2}&215500\\30&65&40&8675000\\70&55&30&10175000\end{array}\right]$

Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la primera fila por -30 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por -70 y sumando a la tercera fila.  

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{5}&\frac{3}{2}&215500\\0&47&-5&2210000\\0&13&-75&-4910000\end{array}\right]$

Multiplicamos la segunda fila por ¹/₄₇ para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.  

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{5}&\frac{3}{2}&215500\\0&1&-\frac{5}{47}&\frac{2210000}{47}\\0&13&-75&-4910000\end{array}\right]$

Con la segunda fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la segunda fila por -13 y sumando a la tercera fila.  

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{5}&\frac{3}{2}&215500\\0&1&-\frac{5}{47}&\frac{2210000}{47}\\0&0&-\frac{3460}{47}&-\frac{259500000}{47}\end{array}\right]$

Multiplicamos la tercera fila por -⁴⁷/₃₄₆₀ para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.  

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{5}&\frac{3}{2}&215500\\0&1&-\frac{5}{47}&\frac{2210000}{47}\\0&0&1&75000\end{array}\right]$

3.- A partir de esta matriz, se reescribe el sistema de ecuaciones recordando que las columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas en el orden A, B, C.  

A  +  (³/₅)B  +  (³/₂)C  =  215500

0A  +  B  -  (⁵/₄₇)C  =  ²²¹⁰⁰⁰⁰/₄₇

0A  +  0B  +  C  =  75000

4.- De aquí:  

C  = 75000  

B  -  (⁵/₄₇)(75000)  =  ²²¹⁰⁰⁰⁰/₄₇      ⇒       B  =  55000

A  +  (³/₅)(55000)  +  (³/₂)(75000)  =  215500        ⇒        A  =  70000

¿Cuánto barriles de crudo procesa cada refineria?  

Las refinerias procesan:  

A  =  70000  barriles de crudo,  

B  =  55000  barriles de crudo,  

C  =  75000  barriles de crudo

Answer 2

YACMA YACMAYACMAYACMAYACMAYACMAYACMA