un alambre de 100 cm de largo se corta en dos pedazos uno se dobla para formar un cuadrado y el otro se debla para un triangulo equilatero. Determina un modelo matematico que permita calcular la longitud en la que debe cortarse el alambre para hacer que la suma de las areas de las figuras sea minima
Respuestas
Respuesta:
A(min)=(4/3)[25x-x²] √(2√3)
x=1
y=32
Explicación paso a paso:
vemos que la longitud total del alambre en la imagen es...
100=4x+3y
despejemos y
y=(100-4x)/3..............(1)
el lado del cuadrado es x
el lado del triangulo equilatero es y
la suma de areas de las respectivas figuras debe ser minima.
A=A(cuadrado)+A(triangulo)
A=x²+(y² √3) /2
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ahora usamos la relacion entre media aritmética y geométrica
sea a y b
(a+b)≥ 2√(ab)
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a=x²
b= (y² √3) /2
A ≥ 2 √[x²( y² √3) /2 ]
A ≥xy√(2√3)
pero necesitamos el area mínima
A(min)=xy√(2√3)..........(2)
(1) en (2)
A(min)= x[(100-4x)/3]√(2√3)
A(min)=(4/3)[25x-x²] √(2√3)
vemosque en area mínima depende de este factor [25x-x²]
Para que el area sea minima
[25x-x²] también tiene que ser minima.
tenemos...
f(x)=25x-x²
cuando x=1
f(1)=24
cuando x=2
f(2)=34
cuando x=3
f(3)=66
.
.
.
cuando x=24
f(24)=24
nos damos cuenta de que el minimo valor para f(x) es 24 cuando x=1 0 x=24 justo lo que necesitamos
entonces...
de nuestra ecuación inicial...
100=4x+3y
cuando x=24
100=4(24)+3y
y=1,333..........No!!!
cuando x=1
100=4(1)+3y
y=32..................Si
