Un hotel que tiene 80 habitaciones puede rentarlas todas si el precio de alquiler por día es de $300, pero ha encontrado que por cada $6 de aumento en el precio tendrá una habitación vacía. Determina: El precio de alquiler de cada habitación para que el ingreso sea máximo es de $Respuesta . El monto del ingreso máximo es de $
Respuestas
El numero de habitaciones para que el ingreso sea máximo es de 15 y el ingreso máximo de 25.350 pesos
Explicación paso a paso:
Optimizacion:
x: cantidad de habitaciones rentadas
y: Ingreso por la renta de las habitaciones
y= (80-x)(300+6x)=
y =-6x²+180x+24000
Para obtener el numero de habitaciones para que el ingreso sea máximo derivando e igualando a cero la función objetivo:
y´= -12x+180
0 = -12x+180
x= 15
El monto de ingreso de alquiler para el máximo ingreso será :
y= (80-15) *390
y =25.350 pesos
Respuesta:
Solución:
Encontramos las expresiones para el precio del alquiler y para las habitaciones,
Precio=300+6x, donde x es la cantidad de veces que se incremento $6 sobre 300.
Habitaciones=80-x, donde x tiene el mismo valor que en la ecuación anterior.
La recaudación total que tiene el hotel sería la multiplicación de cada una de las habitaciones por su precio, entonces,
\begin{array}{rcl}R&=&(Precio)(Habitaciones)\\\\\\R&=&(300+6x)(80-x)\\\\\\R&=&24000-300x+480x-6x^2\\\\\\R&=&-6x^2+180x+24000\end{array}
Entonces la recaudación del hotel en función del precio y de las habitaciones es la función cuadrática:
R=-6x^2+180x+24000
Calculamos la abscisa del vértice de la ecuación, con la fórmula,
x_{v}=\frac{-b}{2a}
Donde a=-6 y b=180, entonces,
\begin{array}{rcl}x_{v}&=&\frac{-b}{2a}\\\\\\x_{v}&=&\frac{-180}{2(-6)}\\\\\\x_{v}&=&\frac{-180}{-12}\\\\\\x_{v}&=&15\end{array}
El precio de alquiler de cada habitación para que el ingreso sea máximo es cuando la cantidad de $6 es agregada 15 veces:
Precio=300+6x, donde x es igual a 15.
Precio=300+6(15)
Precio=300+90
Precio=390
El precio de alquiler de cada habitación para que el ingreso sea máximo es 390.
Para conocer el monto del ingreso máximo calculamos el valor de la ordenada del vértice, sustituyendo en la función, así que,
\begin{array}{rcl}R&=&-6x^2+180x+24000\\\\\\R(15)&=&-6(15)^2+180(15)+24000\\\\\\R(15)&=&-1350+2700+24000\\\\\\R(15)&=&25350\end{array}.
El monto de la utilidad máxima es de 25350.
Incorrecta
Explicación paso a paso: