Question

PROBLEMA NIVEL UNI:
TEMA: DIVISIBILIDAD
a1b2c3d4=13°
a2b3c4d^a2c=13°+3
a3c=7°+5
a2c --> mínimo
calcule a+c

Answer 1

$(1) ~~~(\overline{a1b2c3d}+101010)^{\overline{a2c}}\equiv 3\mod 13\\\\(2)~~~\overline{a1b2c3d}+101010\equiv \overline{a1b2c3d} -1\mod 13\\\\(3)~~~10\times \overline{a1b2c3d}+4\equiv 0\mod 13\\ \\10\times \overline{a1b2c3d}\equiv 9\mod 13\\1\equiv 40\mod 13\\ \\10\times \overline{a1b2c3d}\equiv 360\mod 13\\\overline{a1b2c3d}\equiv 36\mod 13\\\overline{a1b2c3d}\equiv 10\mod 13\\\\\overline{a1b2c3d}-1\equiv 9\mod 13$

$(\overline{a1b2c3d}-1)^{\overline{a2c}}\equiv 9^{\overline{a2c}}\mod 13\\\\\text{de (1)}\\3\equiv 9^{\overline{a2c}}\mod 13\\\\\text{se deduce que }9^{2k}\equiv 3\mod 13\text{ entonces:} \\{\overline{a2c}}\equiv 0 \mod 2\\\\(4)~~~ \overline{a3c}\equiv 5\mod 7\\\\2a+c\equiv 2 \mod 7\\\\\text{Por ende }\min(\overline{a2c}) =120$

Respuesta: 1

Answer 2

1) a1b2c3d4=13°  

2) a2b3c4d^a2c=13°+3

3) a3c=7°+5

4) a2c --> mínimo

del dato 2) analizamos el numero sin el exponente

a0b0c0d + 203040= 13° +r

a0b0c0d+13°+6=13°+r

a0b0c0d=13°+7+r

analizamos el dato 1)

a1b2c3d4=13°

a0b0c0d0+1020304=13°

10(a0b0c0d)+13°+12=13°

10(a0b0c0d)=13°+1

10(13°+7+r)=13°+1

13°+9=10r --> r<13

9

22

35

..

100 ---> esta es

r=10

del dato 2) analizamos el numero con todo el exponente

(a0b0c0d + 203040= 13° +r)^a2c=13°+3

(13°+10)^a2c=13°+3

analizamos por el método gaussiano

10⁰=13°+1

10¹=13°+10

10²=13°+9

10³=13°+12

10⁴=13°+3

10⁵=13°+4

10⁶=13°+1

cada  grupo de 6 se repite

a2c=6°+4

ahora analizamos el dato 3)

a3c=7°+5

a2c +10=7°+5

a2c=7°+2

el numero a2c cumple dos condiciones : 6°+4 y 7°+2 , si cumples dos condiciones entonces hallamos su MCM , pero para hallar su MCM tenemos que tener los residuos iguales

6°+4+6+6..+6=6°+16

7°+2+7+7..+7=7°+16

MCM=7*6=42

a2c=42°+16

120≤a2c

120≤ 42k+16

2, .. ≤k

k=3

a2c=42(3)+16

a2c=142

a+c=3