Question

pueden resolver esta integral con todos los pasos porfavor

Answer 1

$\bold{\int{\sqrt{\frac{arcsenx}{1-x^{2}}}} \, dx=\frac{2}{3} (arcsenx)^{(3/2)}+C}$

Explicación paso a paso:

Vamos a aplicar el método de cambio de variable simple, dado que:

$\frac{d(arcsenx)}{dx}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Para ello, reescribimos el integrando de manera tal que la diferencial que se necesita se explicite en la integral:

$\int{\sqrt{\frac{arcsenx}{1-x^{2}}}} \, dx=\int{\frac{\sqrt{arcsenx}}{\sqrt{1-x^{2}}}} \, dx$

Planteamos el siguiente cambio:

$U=arcsenx \qquad \Rightarrow \qquad \frac{dU}{dx}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Volviendo a la integral:

$\int{\sqrt{\frac{arcsenx}{1-x^{2}}}} \, dx=\int{\frac{\sqrt{arcsenx}}{\sqrt{1-x^{2}}}} \, dx=\int{\sqrt{U}} \, dU$

Esta integral se resuelve por la formula de potencias:

$\int{\sqrt{\frac{arcsenx}{1-x^{2}}}} \, dx=\int{\sqrt{U}} \, dU=\int{U^{1/2}} \, dU=\frac{2}{3}U^{3/2}+C$

En definitiva:

$\bold{\int{\sqrt{\frac{arcsenx}{1-x^{2}}}} \, dx=\frac{2}{3} (arcsenx)^{(3/2)}+C}$