Respuestas
El valor de sin²A + sin²B es 1
Para poder llegar a esta conclusión, debemos tener en cuenta las siguientes identidades
- cos²θ + sin²θ = 1
- sin(90 - θ) = cos(θ)
- α+β+γ = 180 (α, β, γ son los ángulos internos de cualquier triángulo)
Conociendo estas tres identidades, se fácil determinar el resultado.
Comenzamos
Como el triángulo ABC es rectángulo, uno de sus ángulos mide 90º, en este case el ángulo en cuestión es C, por lo que aplicando la tercera identidad
A+B+C = 180
A+B+90 = 180
A+B = 180-90=90
A+B = 90 ⇒ A = 90-B
Por lo que ya hemos descrito uno de los ángulos en función del otro
Si tomamos los senos de ambos ángulos tenemos
sin(A) = sin(90-B) = cos(B) // Segunda identidad
sin(B)
Y si tomamos los cuadrados de cada uno concluimos
sin²A = (sinA)² = (cosB)²=cos²B
sin²B +
----------------------------------------------
cos²B + sin²B
Pero por la primera identidad esto es exactamente 1, por lo que se puede concluir que
R = sin²A + sin²B = 1