Question

Los costos de producción diaria de x cantidad de platillos para el Restaurante la Estrella de Belén está dado por:
C(X) = 0.0001x3 – 0.08x2 + 40x +500
Pesos, donde x representa el número de platillos producidos
a) Hallar la función de costos promedio C
b) Hallar la función de costo promedio marginal C´. Calcular C´(500)
c) Interpretar el resultado
d) Si cada platillo vendido genera ingresos por $100 determina: la función de utilidad marginal y las utilidades que se generaran si se producen y venden 100 unidades
e) La demanda de cada platillo está dada por q= 100-10x Determine el punto de elasticidad de la demanda, en función de los precios de los platillos

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos que:

a) La función de costos promedio CP: $CP(X) = 0.0001x^2- 0.08x + \frac{500}{x}+40$

b) La función de costo promedio marginal C´: $CP'(x)=0.0002x-\frac{500}{x^2}-0.08$

c) Calcular C´(500): 0,918 ≈ 0,92 pesos.

d) Interpretación: El costo de fabricar y vender 501 platillos para el Restaurante la Estrella de Belén es de 0,92 pesos.

e) La función de utilidad marginal:  $U'(x)= -0.0003x^2-0.16x+140$

f) Las utilidades que se generaran si se producen y venden 100 unidades: 13.600 pesos.  

g) Punto de elasticidad de la demanda, en función de los precios de los platillos: $Ep= -10*\frac{Px}{100-10Px}$

◘Desarrollo:

a) La función de costos promedio CP:

Los costos promedios son conocidos también como costos unitarios, para hallar la funcion de CP se debe dividir la cantidad de producto (x) entre cada costo que integre la función del costo total, esto es, CFP, CVP:

$C(X) = 0.0001x^3- 0.08x^2 + 40x +500$

Dividimos:

$CP(X) = \frac{0.0001x^3}{x}- \frac{0.08x^2}{x} + \frac{40x}{x} +\frac{500}{x}$

$CP(X) = 0.0001x^2- 0.08x + \frac{500}{x}+40$

b) La función de costo promedio marginal CP´:

Para el cálculo del costo promedio marginal CP' derivamos la función de costo promedio CP:

$CP'(X) = 0.0001x^2- 0.08x + \frac{500}{x}+40$

Aplicamos la regla de la suma o diferencias:

$CP'(x) =\frac{d}{dx}\left(0.0001x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(0.08x\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{500}{x}\right)+\frac{d}{dx}\left(40\right)$

$CP'(x)=0.0002x-\frac{500}{x^2}-0.08$

c) Calcular C´(500):

Evaluamos la función de costo promedio marginal en el punto x=(500):

$CP'(x)=0.0002x-\frac{500}{x^2}-0.08$

$CP'(500)=0.0002(500)-\frac{500}{(500)^2}-0.08$

$CP'(500)=0,918$

e) La función de utilidad marginal:  

Para calcular la utilidad marginal comenzamos hallando la utilidad total, descrita por la siguiente ecuación:

$U= I-C$

Donde:

I= ingresos

C= costos

$U= 100x - 0.0001x^3- 0.08x^2 + 40x +500$

Derivando:

$U'(x)= 100x - 0.0001x^3- 0.08x^2 + 40x +500$

$U'(x)= -0.0003x^2-0.16x+140$

f) Las utilidades que se generaran si se producen y venden 100 unidades:

Evaluamos la función de utilidad total en el punto x=(100).

$U= 100x - 0.0001x^3- 0.08x^2 + 40x +500$

$U= 100(100) - 0.0001(100)^3- 0.08(100)^2 + 40(100) +500$

$U= 13600$

g) Punto de elasticidad de la demanda, en función de los precios de los platillos:

Nos piden hallar la elasticidad punto o precio punto Ep de la demanda respecto a los precios, esto es una función que se halla derivando la ecuación de la demanda y multiplicando por P/Q:

$Q= 100-10x$

$Ep=\frac{dQ}{dPx}*\frac{Px}{Q}$

$Ep= \frac{dQ}{dPx}= -10*\frac{Px}{Q}$

$Ep= -10*\frac{Px}{100-10Px}$

Así, esta función nos permite conocer la elasticidad de la demanda en función de los precios de los platillos en un punto (Px) determinado de la curva de la demanda.