Evitar una Tormenta tropical
Un crucero mantiene una velocidad promedio de 15 nudos y va de San Juan, Puerto Rico a Barbados, Antillas, a una distancia de 600 millas naúticas. Para evitar una tormenta tropical, el capitán sale de San Juan con una dirección de 20° fuera del rumbo directo a Barbados. El capitán mantiene una velocidad de 15 nudos por 10 horas, después de las cuales el camino está libre de tormentas.
(a) ¿Qué ángulo debe girar el capitán para regresar directamente a Barbados?
(b) Una vez que haya girado, ¿cuánto le tomará el crucero llegar a Barbados si se mantiene la misma velocidad de 15 nudos?
Respuestas
El ángulo de giro para poner rumbo a destino debe ser de 26,38º en dirección contraria al giro inicial.
El crucero tardará en llegar a destino 30,8 horas.
La solución de la tarea se basa en aplicar relaciones trigonométricas a los dos triángulos rectángulos (PR-O-Q y B-O-Q) que se generan a partir del enunciado (ver figura adjunta).
Por otra parte:
15 nudos = 27,78 km/h
600 millas náuticas = 1111,2 km
Se tiene: x1 + x2 = 1111,2 km
Asumiendo un movimiento rectilineo uniforme, la distancia que recorre el crucero con rumbo 20º es: v = x/t → x = v.t = 27,78 km/h.10h = 277,8 km
h₁ = 277,8 km
x₁ = 277,8km.cos20º = 261 km
y₁ = 277,8km.sen20º = 95 km
x₂ = 1111,2 km - x₁ = 1111,2 km - 261 km = 850,15 km
h₂ = √ (850,15 km)² + (95 km)² = 855,44 km
El ángulo β se puede hallar: tan β = x₂/y₁ = 850,15 km/95 km = 8,95 → β = tan⁻¹8,95 = 83,62º, pero 90º = β + γ → γ = 90º - 83,62º = 6,38º
El capitán debe girar un ángulo de 20º + 6,38º = 26,38º contra el giro inicial para tomar rumbo al destino.
El tiempo que tarda en llegar a destino será: v = x/t → t = x/v = 855,44 km/27,78 km/h = 30,8 h.
Respuesta:
a. Debe girar 82.49º en dirección contraria al giro inicial.
b. Tomará 32.01 horas después de haber girado.
Explicación paso a paso:
Para resolver tenemos que conocer la ley de los cosenos, para utilizar la ley de cosenos en la resolución de problemas, la podemos aplicar cuando tengamos los siguientes dos casos :
Tener todos los lados y no tener un ángulo en común
Tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Para nuestro ejercicio tenemos los datos de la segunda opción.
Lado c = 600 millas
Lado b = 15 nudos x 10 horas
Angulo I = 20º
1 nudo = 1.1508 millas/hora
15 nudos = 17.262 millas/hora
17.262 millas/hora × 10 hora = 172.62 millas
Lado b = 172.62 millas
a. Aplicando la ley de los cosenos en nuestro ejercicio tenemos
i² = b² + c² - 2·b·c·Cos (20º)
i² = (172.62)² + (600)² - 2·172.62·600·Cos(20º)
i² = 29797.66 + 360000 - 84531.75
i² = 305265.91
i = √305265.91
i = 552.51 millas
Ya tenemos los tres lados del triángulo.
Aplicamos nuevamente la ley de los cosenos así
c² = i² + b² - 2·i·b·Cos C
(600)² = (552.51)² + (172.62)² - 2·(600)·(172.62)·Cos C
Cos C = (600)² - (552.51)² - (172.62)²
-2·(600)·(172.62)
Cos C = 24935.03 / -190748.55
Cos C = -0.1307
C = Cos⁻¹ (-0.1307)
C = 97.51º
Para hallar el ángulo que necesitamos lo calculamos por la definición de ángulos suplementarios
97.51 + AG = 180 AG = 180 - 97.51
AG = 82.49º
b. Para saber el tiempo que tomará en llegar desde el giro, dividimos la distancia i entre la velocidad que son 17.262 millas/hora
552.51 / 17.262 = 32 horas