Question

De un grupo de 10 personas al que usted pertenece, van a sacar aleatoriamente 4 para que vayan a un paseo a San Andrés; en el grupo hay 6 hombres ¿Cuál es la probabilidad de que vayan dos parejas completas?

Answer 1

Primero hallemos el total de parejas que con 4 personas se puede formar

1. Número de parejas que se pueden formar con 4 personas. Sean las personas A,B,C,D si los separamos en parejas tenemos (AB) (CD), tenemos que darnos cuenta que es lo mismo hacer

(AB)(CD) = (AB)(DC) = (BA)(CD) = (BA)(DC)

(CD)(AB) = (CD)(BA) = (DC)(AB) = (DC)(BA)

Así que hay 8 formas iguales:

2 formas de conmutar el primer miembro,

2 formas de conmutar el segundo miembro,

2 formas de conmutar los dos pares = 2 x 2 x 2 = 8

Luego tenemos que hallar la cantidad de formas de ordenar 4 personas de las 10 que hay, es decir haremos una variación sin repetición

$V(10,4)=\dfrac{10!}{(10-4)!}=\dfrac{10!}{6!}$

Para formar el par de parejas sacadas de 10 personas nos damos cuenta que en la variación V(10,4) se repiten 8 veces la configuración del par de parejas que vimos más arriba, por eso podemos formar

$p(10,4) = \dfrac{V(10,4)}{2^3}=\dfrac{10!}{6!\times 8}=\dfrac{10\times9\times8\times7}{8}=630\text{ par de parejas}$

2. Ahora queremos el par de parejas Mujer - Hombre, Mujer - Hombre. Para ello elegimos 2 hombres de los 6 y 2 mujeres de las 4:

$H(grupos~de~2)=C(6,2)=15\\M(grupos~de~2)=C(4,2)=6$

Podemos formar 15 grupos de 2 hombres y 6 grupos de 2 mujeres. Cada grupo debe emparejarse, así por ejemplo

(H1, H2) Grupo de hombres con (M1 , M2) grupo de mujeres, a su vez esto tiene solo DOS formas de configuración

#1 (H1, M1) (H2, M2)

#2 (H1,M2) (H2,M1)

Entonces el total de par de parejas H - M que podemos formar es

$p_{H,M}=15\times 6\times 2=180 \text{ par de parejas hombre - mujer}$

Por ende la probabilidad es

$P=\dfrac{180}{630}=\dfrac{2}{7}$