Question

IDENTIDADES TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Sucesiones y Series

$\textbf{Problema :}$

Si usted digitase $\textrm{sen}(2x)$ en la $\textrm{PC}_{1}$ en la pantalla de la $\textrm{PC}_{2}$ se leerá $\textrm{sen}(2x)$, si escribiese en la $\textrm{PC}_{1}$ lo observado en la pantalla de la $\textrm{PC}_{2}$, se comprobará que en la pantalla de la $\textrm{PC}_{2}$ está la misma función trigonométrica con un argumento respecto al anterior aumentado en $2x$ y su coeficiente respecto al anterior reducido a la mitad; si nuevamente escribimos esto último en la $\textrm{PC}_{1}$, verificaremos que en la pantalla de la $\textrm{PC}_{2}$ ocurre lo mismo, el argumento aumenta en $2x$ y el coeficiente se reduce a la mitad; si repetimos esta secuencia ilimitadamente, halle la suma de todas las expresiones que se vieron en la pantalla de la $\textrm{PC}_{2}$, cuando $x$ toma el valor de 30°.

RESOLUCIÓN

Inicialmente digitamos $\textrm{sen}(60)$ la $\textrm{PC}_{1}$, luego observamos en la $\textrm{PC}_{2}$ la expresión trigonométrica $\textrm{sen}(60)$ y siguiendo con el procedimiento que indica el problema tenemos la siguiente sucesión.

$\{ a_{n}\} :\ \textrm{sen}(60)\ ;\ \dfrac{1}{2} \textrm{sen}(120)\ ;\ \dfrac{1}{2^{2}} \textrm{sen}(180)\ ;\ \dfrac{1}{2^{3}} \textrm{sen}(240)\ ;\ \dfrac{1}{2^{4}} \textrm{sen}(300)\ ;\ \ldots$

Es importante notar que se cumple cierta peculiaridad con el argumento $\dfrac{\pi}{3}$ ya que $\textrm{sen}(60) = \textrm{sen}(120) = - \textrm{sen}(240) = -\textrm{sen}(300)$

En la sucesión, a partir del séptimo término en adelante notemos que.

$a_{7} = \dfrac{1}{2^{6}} \textrm{sen}(360+60) = \dfrac{1}{2^{6}} \textrm{sen}(60)$

$a_{8} = \dfrac{1}{2^{7}} \textrm{sen}(360+120) = \dfrac{1}{2^{7}} \textrm{sen}(120)$

$a_{9} = \dfrac{1}{2^{8}} \textrm{sen}(360+240) = \dfrac{1}{2^{8}} \textrm{sen}(240)$

Entonces, haciendo $\phi = \textrm{sen}(60)$ podemos escribir los términos de la sucesión $\{ a_{n}\}$ de la siguiente manera.

$\{ a_{n}\} :\ \phi\ ;\ \dfrac{\phi}{2}\ ;\ 0\ ;\ -\dfrac{\phi}{2^{3}}\ ;\ -\dfrac{\phi}{2^{4}}\ ;\ 0\ ;\ \dfrac{\phi}{2^{6}}\ ;\ \dfrac{\phi}{2^{7}}\ ;\ 0\ ;\ -\dfrac{\phi}{2^{9}}\ ;\ -\dfrac{\phi}{2^{10}}\ ;\ \ldots$

Denotando como $\Omega$ a la suma de todos los términos de la sucesión tenemos lo siguiente.

$\Omega = \phi \left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2^{3}} - \dfrac{1}{2^{4}} + \dfrac{1}{2^{6}} + \dfrac{1}{2^{7}} - \dfrac{1}{2^{9}} - \dfrac{1}{2^{10}} + \ldots \right)$

Multiplicamos $\Omega$ por $\dfrac{1}{2^{3}}$

$\dfrac{\Omega}{2^{3}} = \phi \left(\dfrac{1}{2^{3}} + \dfrac{1}{2^{4}} - \dfrac{1}{2^{6}} - \dfrac{1}{2^{7}} + \dfrac{1}{2^{9}} + \dfrac{1}{2^{10}} - \dfrac{1}{2^{12}} - \dfrac{1}{2^{13}} + \ldots \right)$

Ahora sumamos $\dfrac{\Omega}{2^{3}}$ y $\Omega$ dando como resultado.

                                $\dfrac{\Omega}{2^{3}} + \Omega = \phi \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right)\ \Longrightarrow\ \Omega = \dfrac{4}{3} \phi$

y como $\phi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ entonces se concluye que $\Omega = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$

RESPUESTA

$\boxed{\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}}$