Question

1)Suponga que f(x)=x^2 con x ϵ [0,2], encuentre un numero ξ tal que f(ξ)= f ̅ [a,b]. . 2)Suponga que f(x)=x^3+1 con x ϵ [-2,2], encuentre un numero ξ tal que f(ξ)= f ̅ [a,b]. 3)Suponga que f(x)=sen√x con x ϵ [0,π], encuentre un numero ξ tal que f(ξ)= f ̅ [a,b]. 4)Suponga que f(x)=4x^2-2x con x ϵ [1,4], encuentre un numero ξ tal que f(ξ)= f ̅ [a,b]

Answer 1

Un numero ξ tal que f(ξ) = f̅[a,b] se obtiene mediante el Teorema del valor medio de la siguiente manera:

El teorema del valor medio dice así:

Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] (tiene que ser continua en x=a y x=b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) (no tiene por qué ser derivable ni en x=a ni en x=b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que en ese punto se verifica:

                                    f'(c)=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Entonces se tiene que cumplir ciertas condiciones para poder aplicar este teorema, las condiciones son:

Condiciones

• f continua en [a,b]
• f derivable en (a,b)      → Э c ∈  (a,b) /  f'(c)=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

f(a)≠f(b)

Se tiene la siguiente funciones:

1.) f(x) = x^2 con x ϵ [0,2],

(Dare una explicación detalla para esta función y las demás se resuelve de la misma forma)

En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Debemos comprobar si la función es continua en [0,2] y derivable en (0,2)

Es Continua?

La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,2].

Es derivable?

La función es derivable en (0,2) si su derivada es continua en ese intervalo.

La derivada de la función es:

f'(x)=2x

Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.

Es continua en [0,2] y derivable en (0,2), por tanto, existe un valor de c  en ese intervalo tal que:

                                f'(c)=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Ahora se procede a determinar el valor c:

f(0)=(0)^2=0

f(2)=(2)^2=4

f'(c)=$\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{4}{4}=1$

Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):

f'(x)=2x

Sustituyendo la x por la c:

f'(c)=2c

Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

2c=1

c=1/2

Y este es el numero c  tal que f(c) = f̅[0,2]

2.) $f(x)=x^{3}+1$   con x ϵ [-2,2]

Se comprueba que es continua y derivable en el intervalo [-2,2] igual que el caso anterior, ya que se trata de un polinomio.

Entonces saltamos al siguiente paso:

 f'(c)=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Ahora se procede a determinar el valor c:

f(-2)=(-2)^3+1=-7

f(2)=(2)^3+1=9

f'(c)=$\frac{f(-2)-f(2)}{2+2}=\frac{9+7}{4}=4$

Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):

f'(x)=3x^2

Sustituyendo la x por la c:

f'(c)=3c^2

Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

3c^2=4

c^2=4/3

c=$\sqrt{\frac{4}{3} }=\frac{2}{\sqrt{3} }=\frac{2\sqrt{3} }{3}$

Y este es el numero c  tal que f(c) = f̅[-2,2] para este caso.

3.) $f(x)=sen(\sqrt{x} )$ con x ϵ [0,π]      

Para este caso se comprueba si la función es continua y derivable en el intervalo [0,π]  para poder aplicar el teorema del valor medio.

Es continua?

En el intervalo [0,π] si es continua esta función ya que al introducir un valor entre este intervalo existe.

Es derivable?

La función si es deribable pero no en el intervalo [0,π] para ello observamos que la derivada de  $f(x)=sen(\sqrt{x} )$ es:

f'(x)=$\frac{1}{2}*\frac{cos(\sqrt{x}) }{\sqrt{x} }$

Como se observar al evaluar el valor en x=0 esa derivada no existe por lo tanto no es derivable en este intervalo lo que implica que no ∈ un valor c tal que f(c)= f ̅ [0,π]

4.) f(x)=4x^2-2x con x ϵ [1,4]

Se comprueba que es continua y derivable en el intervalo [1,4] igual que los dos primeros caso, ya que se trata de un polinomio.

Entonces saltamos al siguiente paso:

 f'(c)=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Ahora se procede a determinar el valor c:

f(1)=4(1)^2-2(1)=2

f(2)=4(4)^2-2(4)=56

f'(c)=$\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{56-2}{3}=18$

Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):

f'(x)=8x-2

Sustituyendo la x por la c:

f'(c)=8c-2

Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

8c-2=18

8c=20

c=2,5

Y este es el numero c  tal que f(c) = f̅[1,4] para este caso.