Question

Por favor me podrían ayudar
Lim-4 √(x^2) +9-5/x+4​

Answer 1

Hola :D

Tema: Límites

Siendo:

$\lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 9 } - 5 }{x + 4}$

Vayamos a encontrar dicho límite sustituyendo:

$\lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ \sqrt{ { (- 4)}^{2} + 9 } - 5 }{ - 4 + 4} \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ \sqrt{25} + 5}{0} \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{0}{0}$

Nos ha quedado una indeterminación,

Para que esto no ocurra hay dos maneras de hallar el valor al que tiende x, una es la factorización y la otra la regla de L'Hopital, te mostraré sólo la de factorización:

Para empezar, multiplicamos por el conjugado de $\sqrt{{x}^{2}+9}-5$

es decir: $]\sqrt{{x}^{2}+9}+5$

tanto a numerador como denominador:

$\lim\limits_{x\rightarrow - 4} (\frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 9 } - 5}{x + 4} )( \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 9} + 5 }{ \sqrt{ {x}^{2} + 9 } + 5} ) \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ ( \sqrt{ {x}^{2} + 9 })^{2} - {(5)}^{2} }{(x + 4)( \sqrt{ {x}^{2} + 9 } + 5) } \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ {x}^{2} + 9 - 25}{(x + 4)( \sqrt{ {x}^{2} + 9} + 5) } \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ {x}^{2} - 16}{(x + 4)( \sqrt{ {x}^{2} + 9} + 5) } \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ \cancel{(x + 4)}(x - 4)}{ \cancel{(x + 4)}( \sqrt{ {x}^{2} + 9} + 5) } \\ \boxed{\lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{x - 4}{ \sqrt{ {x}^{2} + 9 } + 5} }$

Ahora, ya habiendo factorizado, volvemos a aplicar el límite:

$\lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ - 4 - 4}{ \sqrt{ { (- 4)}^{2} + 9} + 5 } \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} \frac{ - 8}{ \sqrt{25} + 5 } \\ \lim\limits_{x\rightarrow - 4} - \frac{8}{10} \rightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{\lim\limits_{x\rightarrow - 4} - \frac{4}{5}}}}$

Espero haberte ayudado,

SALUDOS CORDIALES, AspR178 !!!!

Gran Maestro -- > Grupo ⭕