Question

El radio r y la altura h de un cono circular recto se relacionan con el volumen V del cono mediante la fórmula V=(1/3)πr^2 h.



a). ¿Cómo se relaciona dV/dt con dh/dt si r es constante?
b). ¿Cómo se relaciona dV/dt con dr/dt si h es constante?

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Answer 1

Las expresiones  $\bold{\frac{dV}{dt}= \frac{1}{3}\pi r^{2}\frac{dh}{dt}}$    y     $\bold{\frac{dV}{dt}= \frac{2}{3}\pi rh\frac{dr}{dt}}$     relacionan dV/dt con dh/dt, si r es constante, y con dr/dt, si h es constante, respectivamente.

Explicación paso a paso:  

La función volumen del cono depende del radio y de la altura del sólido. El planteamiento indica que debemos calcular la tasa en que cambia el volumen en la unidad de tiempo, la función derivada, con respecto a las tasas en que cambian el radio y la altura, pero asumiendo que solo una de esas dimensiones varía mientras la otra permanece constante.

Nuestro problema se reduce a calcular las derivadas de la función volumen, alternativamente, con respecto a radio y altura.

a) ¿Cómo se relaciona dV/dt con dh/dt si r es constante?

$\bold{\frac{dV}{dt}= \frac{1}{3}\pi r^{2}\frac{dh}{dt}}$  

b). ¿Cómo se relaciona dV/dt con dr/dt si h es constante?

$\bold{\frac{dV}{dt}= \frac{2}{3}\pi rh\frac{dr}{dt}}$