Se te ha encomendado construir una caja a partir de un cartón rectangular de 177 cm x 92 cm. La caja debe tener forma de prisma rectangular, sin tapa, como se muestra en la figura.
Llama x al lado del cuadrado que recortarás en cada esquina del cartón y responde las siguientes preguntas. No olvides incluir el procedimiento que seguiste para obtener la solución.
¿Cuánto mide la altura de la caja según el diagrama?
¿Cuáles son las dimensiones de la base de la caja?
¿Cuál es el área de cada uno de los cuadrados de las cuatro esquinas?
¿Cuál es el área del cartón que será desperdiciado?
¿Cuál es el volumen de la caja?
Respuestas
Respuesta:
A partir de un cartón cuadrado, un grupo de estudiantes piensa construir una caja sin tapa de 4 cm de altura. Para hacerlo, cortarán de 4 cm cada una de las esquinas del cartón, como se muestra en la figura. Determina la medida del lado del cuadrado (x) del tal forma de que el volumen de la caja sea 324 cm cúbicos.
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Aunque la tarea es incompleta porque no se ha adjuntado la figura a que alude el texto, soy yo quien añade una que puede dar idea de lo que se quiere conseguir. También existe un error al final cuando dice que el volumen a obtener a de ser de cm. cuadrados porque eso es medida de superficie. Han de ser centímetros cúbicos.
Partimos de un cartón cuadrado de lado "x" y al recortarle 4 cm. a cada esquina, esa medida inicial quedará reducida en 4 cm. por cada parte, es decir que el lado de la base de la caja a construir medirá "x-4-4" = x-8 cm.
Por otro lado, el volumen de cualquier prisma recto y regular como es este, se obtiene del producto de sus tres dimensiones: largo por ancho por alto.
En nuestro caso, el largo y el ancho son iguales puesto que hemos visto que la base es cuadrada, así que el largo por el ancho será el producto:
(x-8)·(x-8) = (x-8)²
Y nos dice la altura que se le quiere dar a la caja que son 4 cm. por lo tanto podemos establecer la ecuación basada en la fórmula del volumen puesto que también nos da ese dato final de que el volumen ha de ser de 324 m³
Planteamos y resolvemos la ecuación de segundo grado:
(x-8)^2*4=324\\ \\ (x^2+64-16x)*4=324\\ \\ x^2+64-16x=81\\ \\ x^2-16x-17=0\\ \\ x_1=\dfrac{16+18}{2}=17\ cm.
La segunda solución x₂ se desecha por salir negativa y no valernos para el contexto del ejercicio.
Así pues, la respuesta es: el lado del cartón original debe medir 17 cm.
Saludos.
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Explicación paso a paso: