Question

Alguien me podria ayudar con estas derivadas por favor!!

1. Hallar las siguientes derivadas de las siguientes funciones por medio de la definición de límite

a. f(x)= 2x^2 - 3x + 1 en el punto x=3
b. j(x)= (x^2+2x)^1/2 en el punto x=-2

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la función el punto indicado.

a. h(x)= cos (x+1) en el punto (0, h(0))
b. m(x)= x^2-5x+6/x+1 en el punto (-2,m(-2))

Answer 1

La deriva por definición de la función f(x)=2x² - 3x + 1 en el punto x=3 es igual a 9 y la de j(x)=$\sqrt{x^{2}+2x }$ en x=-2 es igual a -2.

La ecuación de la recta tangente en h(x)= cos (x+1) en el punto (0, h(0)) es igual y-cos(1)=-sen(1)x y para m(x)= $\frac{x^{2} -5x+6}{x+1}$ en el punto (-2,m(-2)) es igual a y+20=-11(x+2).

1. Para hallar la derivada por definición se debe tener en cuenta la siguiente expresión:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Y también la siguiente expresión de factorización:

(a+b)² = a² + 2ab +b²

a. Para f(x)=2x² - 3x + 1 en el punto x=3

- Hallamos f(x+h):

f(x+h)= 2(x+h)² -3(x+h) + 1

= 2(x² + 2xh +h²) - 3(x+h) + 1

= 2x² + 4xh +2h²-3x-3h+1

- Ahora hallamos f(x+h)-f(x):

f(x+h)-f(x)= (2x² + 4xh +2h²-3x-3h+1) - (2x² - 3x + 1)

=4xh +2h²-3h

- Hallamos el límite:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{4xh+2h^{2}-3h }{h}$

$= \lim_{h \to 0} 4x + \lim_{h \to 0} 2h -\lim_{h \to 0} = 4x+0-3=4x-3$

-Evaluamos en x=3:

f'(3)=4(3)-3=12-3=9

b. Para j(x)=$\sqrt{x^{2}+2x }$ en x=-2

- Hallamos j(x+h):

$j(x+h)= \sqrt{(x+h)^{2}+2(x+h) }$

$=\sqrt{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h  }$

- Ahora hallamos j(x+h)-j(x):

j(x+h)-j(x)= $\sqrt{x^{2} +2xh+h^{2}+2x+2h } -\sqrt{x^{2}+2x }$

- Hallamos el límite:

$j'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 2xh+h^{2}+2x+2h } -\sqrt{x^{2}+2x } }{h}$

Multiplicamos por la conjugada para resolver el límite:

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2xh+h^{2}+2x+2h } +\sqrt{x^{2}+2x }}{\sqrt{x^{2} + 2xh+h^{2}+2x+2h } +\sqrt{x^{2}+2x }}$

(Conjugada)

Y se simplifica en límite a:

$=\lim_{h \to 0} \frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h -x^{2} -2x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2xy+h^{2}+2h}{h} =  \lim_{h \to 0} 2x+h+2 = 2x+2$

-Evaluamos en x=-2:

j'(-2)=2(-2)+2=-2

2. Para hallar la ecuación de la recta tangente tenemos la siguiente expresión:

y-f(a)=f'(a)(x-a)

siendo a el punto.

a. Recta tangente en h(x)= cos (x+1) en el punto (0, h(0))

-Calculamos h(0):

h(0)=cos(0+1)=cos (1)

-Calculamos h'(0):

Por derivadas de tabla tenemos que:

cos(x)'=-sen(x)

Entonces:

h'(x)=-sen(x+1)

Evaluamos en el punto:

h'(0): -sen(0+1)=-sen(1)

- Aplicamos la ecuación de la recta tangente:

y-h(0)=h'(0)(x-0)

Sustituimos:

y-cos(1)=-sen(1)x

b. Recta tangente en m(x)= $\frac{x^{2} -5x+6}{x+1}$ en el punto (-2,m(-2))

-Calculamos m(0):

m(0)=$\frac{-2^{2} -5(-2)+6}{-2+1}$= -20

-Calculamos m'(0):

Por reglas de derivadas tenemos que:

$\frac{a}{b}' = \frac{a'b-b'a}{b^{2} }$

Entonces:

m'(x)=$\frac{(x^{2}-5x+6)'(x+1)-(x+1)'(x^{2}-5x+6)}{(x+1)^{2} }$

$m'(x)=\frac{(2x-5)(x+1)-1(x^{2}-5x+6)}{(x+1)^{2} }$

Evaluamos en el punto:

m'(-2): -11

- Aplicamos la ecuación de la recta tangente:

y-m(-2)=m'(-2)(x-(-2))

Sustituimos:

y-(-20)=-11(x+2)

y+20=-11(x+2)