Question

hallar la ecuacion de la circunferencia cuyo centro está en el eje x y pase por los puntos -2,3 y 4,5
r: 3x²+3y²-14x-67=0

Answer 1

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje x y que pasas por los puntos (-2, 3) y (4, 5) es r: 3x²+3y²-14x-67=0

Para poder hallar la ecuación de la circunferencia, primero debemos hallar las coordenadas de su centro, y luego hallar el radio de esta, posteriormente simplificar. Por lo tanto, vamos a dividir este problema en tres partes

Hallar su centro

La forma canónica de la circunferencia es la siguiente

$(x-c_x)^2 +(y-c_y)^2 = r^2$

donde c_x y c_y son las coordenadas del centro de la circunferencia. Un punto muy importante es que se explica que el centro está sobre el eje x, por lo que c_y = 0. Para hallar c_x, sabemos que tanto (-2, 3) como (4,5) pertenecen a la circunferencia, lo que implica que podemos hacer lo siguiente

$(-2-c_x)^2 + 3^2 = (4-c_x)^2 + 5^2$

Lo que nos permite hallar un valor para c_x, separando variables de la siguiente manera, logramos simplificar la expresión

$(-2-c_x)^2 + 3^2 = (4-c_x)^2 + 5^2 \implies (-2-c_x)^2 - (4-c_x)^2 = 25 - 9\\\\\\( -2-c_x + 4 - c_x )(-2-c_x -( 4 -c_x )) = 16\\\\\\(2-2c_x)(-6-c_x+c_x) = 2(1-c_x)(-6) = 16\\\\12(c_x-1) = 16\\\\c_x = 4/3 + 1 = 7/3\\\\c_x = 7/3$

Ya hemos podido determinar el centro de la circunferencia, que es C(7/3, 0)

Calcular su radio

Para poder calcular el radio de la circunferencia, hacemos uso del punto (4,5) para determinarlo, el radio es

$r^2 = (4-7/3)^2 + 5^2 = (5/3)^2 + 25 = 25/9+25 = 25(1/9+1) = 25*10/9$

Simplificar la expresión

Ahora que tenemos todos los ingredientes solo falta simplificar la expresión

$(x-7/3)^2 + y^2 = 250/9\\\\(3x-7)^2 /9 + y^2 = 250/9\\\\( (3x-7)^2 + 9y^2 )/9= 250/9\\\\(3x-7)^2 + 9y^2 = 250\\\\9x^2 - 42x + 49 + 9y^2 = 250\\\\9x^2 -42x +9y^2 - 201 = 0\\3( 3x^2 - 14x +3y^2 -67)=0\\\\\\3x^2 + 3y^2 -14x - 67 = 0$

Que es la ecuación que se quería