Question

a arista de una caja cúbica tiene una longitud de 8m. La caja
contiene nueve bolas esféricas con el
mismo radio r. El centro de una bola
está en el centro del cubo y toca a cada
una de las otras ocho bolas. Cada una
de las otras ocho bolas toca tres lados
de la caja. Así que, las bolas están
compactadas en la caja. Encuentre la
ecuación canónica de cada una de las
esferas tomando en cuenta que el
centro de la caja es el punto (1,2,3).

Answer 1

]Respuesta:

Explicación paso a paso:

vertices de la caja

(5,6,7) (-3,6,7) (5,-2,7) (5,6,-1)

(-3,-2,-1) (5,-2,-1) (-3,6,-1) (-3,-2,7)

Radio de una bola: r

1) Centro de la bola central: (1,2,3)

2) El centro de la bola que toca las caras de vertice (5,6,7) es: (5-r,6-r,7-r)

Entre bolas 1) y 2) hay distancia de 2r.

$(5-r-1)^{2} +(6-r-2)^{2} +(7-r-3)^{2} =(2r)^{2}$

$3(4-r)^{2} =4r^{2}$

$3(16-8r+r^2) = 4r^2$

$r^2 + 24r - 48 = 0$

$r=\frac{-24+-\sqrt{24^{2} -4(1)(-48}}{2(1)}$

$r=\frac{-24+-\sqrt{768} }{2}$

$r=-12+-8\sqrt{3}$

valor positivo del radio

$r=-12+8\sqrt{3}$

Centro de cada esfera

$(5-r, 6-r,7-r)=(5+12-8\sqrt{3}, 6+12-8\sqrt{3},7+12-8\sqrt{3})= (17-8\sqrt{3}, 18-8\sqrt{3},19-8\sqrt{3})$

$(-3+r, 6-r,7-r)=(-3-12+8\sqrt{3}, 6+12-8\sqrt{3},7+12-8\sqrt{3})= (-15+8\sqrt{3} , 18-8\sqrt{3},19-8\sqrt{3})$

$(5-r, -2+r,7-r)=(5+12-8\sqrt{3}, -2-12+8\sqrt{3},7+12-8\sqrt{3})= (17-8\sqrt{3}, -14+8\sqrt{3},19-8\sqrt{3})$

$(5-r, 6-r,-1+r)=(5+12-8\sqrt{3}, 6+12-8\sqrt{3},-1-12+8\sqrt{3})= (17-8\sqrt{3}, 18-8\sqrt{3},-13+8\sqrt{3})$

$(-3+r, -2+r,-1+r)=(-3-12+8\sqrt{3}, -2-12+8\sqrt{3},-1-12+8\sqrt{3})= (-15+8\sqrt{3}, -14+8\sqrt{3},-13+8\sqrt{3})$

$(5-r, -2+r,-1+r)=(5+12-8\sqrt{3}, -2-12+8\sqrt{3},-1-12+8\sqrt{3})= (17-8\sqrt{3}, -14+8\sqrt{3},-13+8\sqrt{3})$

$(-3+r, 6-r,-1+r)=(-3-12+8\sqrt{3}, 6+12-8\sqrt{3},-1-12+8\sqrt{3})= (-15+8\sqrt{3}, 18-8\sqrt{3},-13+8\sqrt{3})$

$(-3+r, -2+r,7-r)=(-3-12+8\sqrt{3}, -2-12+8\sqrt{3},7+12-8\sqrt{3})= (-15+8\sqrt{3}, -14+8\sqrt{3},19-8\sqrt{3})$

(1,2,3)

radio al cuadrado

$r^{2} =(-12+8\sqrt{3} )^{2} =144-192\sqrt{3} +192=336-192\sqrt{3}$

Ecuaciones de cada esfera:

$(x-17+8\sqrt{3} )^{2} + (y-18+8\sqrt{3} )^{2} + (z-17+8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x+15-8\sqrt{3} )^{2} + (y-18+8\sqrt{3} )^{2} + (z-17+8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x-17+8\sqrt{3} )^{2} + (y+14-8\sqrt{3} )^{2} + (z-17+8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x-17+8\sqrt{3} )^{2} + (y-18+8\sqrt{3} )^{2} + (z+13-8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x+15-8\sqrt{3} )^{2} + (y+14-8\sqrt{3} )^{2} + (z+13-8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x-17+8\sqrt{3} )^{2} + (y+14-8\sqrt{3} )^{2} + (z+13-8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x+15-8\sqrt{3} )^{2} + (y-18+8\sqrt{3} )^{2} + (z+13-8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x+15-8\sqrt{3} )^{2} + (y+14-8\sqrt{3} )^{2} + (z-19+8\sqrt{3} )^{2} = 336-192\sqrt{3}$

$(x-1 )^{2} + (y-2)^{2} + (z-3)^{2} = 336-192\sqrt{3}$