Question

La suma de los valores reales de k, tales que al dividir el polinomio p(x) = k^2 x^3 - 4kx + 4 para (x−1) se obtenga como residuo 1, es:

Answer 1

La suma de los valores de k es 4

Para poder resolver, solamente debemos sumar todos los coeficientes del polinomio e igualar a 1. Es decir

k² + 0 -4k + 4 = 1

k² - 4k + 3 = 0

Para poder resolver esto debemos hacer uso de la fórmula general de segundo grado

$ak^2 +bk + c = 0\\\\k = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Para hallar la suma de las soluciones tendríamos

$k_1 + k_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac} - b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =  -\frac{2b}{2a} \\\\k_1 + k_2= -\frac{b}{a}$

Aquí notamos como k_1 y k_2 a cada una de las soluciones

Por lo que si hacemos b = -4 y a = 1, tendríamos que

k_1 + k_2 = -(-4)/1 = 4

Es decir, la suma de las soluciones para k es 4