Desde la parte superior de un rascacielos de 30 cm de altura se lanza una particula con una raspidez de 55m/sformando un angulo de 35ºsobre la horizzontal calcular:a) la aceleracion total b)la velocidad de la particula en un tiempo determinado c)la posion de la particula en cualquier tiempo d) el tiempo de velo e) el alcanse maximo f)la velocidad con que impacta el suelo g) la altura maxima alcanzada por la particula sobre el suelo
Respuestas
El movimiento uniforme en dirección 'x' y 'y' de una Trayectoria parabólica de una partícula:
Si elegimos el origen en el punto de lanzamiento y el eje +y para arriba y +x a la derecha.
Por otro lado podemos considerar el movimiento del proyectil como la superposición de dos movimiento independiente:
1.) un movimiento uniforme en dirección x
2.) movimiento en la dirección vertical sometido a una aceleración de la gravedad hacia abajo, a=-g (en y)
Se escriben las coordenadas (x,y) en el instante t:
x(t)=(V_{0} (cos(Θ))t
y(t)=(V_{0} (sen(Θ))t-\frac{1}{2}gt^{2}
Donde donde Θ es el angulo que se forma con la horizontal y V_{0} es la velocidad inicial.
Respondiendo
a.) La aceleración total
En un lanzamiento de proyectil el vector aceleración a es:
a=a_{x}+ a_{y}=a_{y}=-g
En la trayectoria de un proyectil no hay aceleración en la componente x solo en la componente y es la gravedad g.
b.)la velocidad de la partícula en un tiempo determinado
El vector velocidad V es igual a:
V=Vx+Vy (donde)
V_{x}=V_{0x}+a_{x}t=V_{0x}=V_{0} (cos(Θ))
V_{y}=V_{0y}+a_{y} t=V_{0} (sen(Θ))-gt
Entonces la velocidad para cualquier t es:
V=V_{0} (cos(Θ))+V_{0} (sen(Θ))-gt=V_{0}(cos(Θ)+(sen(Θ))-gt
V=55m/s(cos(35°)+(sen(35°))-gt
V=76.6m/s-9.8m/s^{2}t
c) la posición de la partícula en cualquier tiempo
x(t)=(V_{0}* (cos(Θ))t
y(t)=(V_{0} (sen(Θ))t-\frac{1}{2}gt^{2}
d.) tiempo de vuelo
El tiempo de vuelo
Se halla haciendo y(t)=0
0=(V_{0} (sen(Θ))t-\frac{1}{2}gt^{2} entonces
t=\frac{2V_{0} sen(Θ)}{g}=\frac{2*55m/s sen(35°)}{9.8m/s^{2}}=6.4 s
e.) El alcance máximo
El alcance horizontal R sera:
R=x(t)=(V_{0} (cos(Θ))t=(V_{0} (cos(Θ))(\frac{2V_{0} sen(Θ)}{g})
R=\frac{V^{2} _{0}sen(2Θ)}{g}=\frac{55m/s^{2} _{0}sen(2*35°)}{9.8m/s^{2}}=290,06m
f.) la velocidad con que impacta el suelo
En el el punto de llegada y=-H (altura del rascacielos=30m)
***Recuerda que el sistema es +y para arriba***
V_{x}=V_{0} (cos(Θ))⇒V_{x}^{2} =V_{0}^{2} (cos(Θ))^{2}
V_{y} ^{2}= V_{0y} ^{2}+2a(y-y_{0})=V_{0}^{2}(sen(Θ)^{2}+2gH
Relacionando las dos ecuaciones
v=\sqrt{V^{2} _{0} +2gH}=\sqrt{(55m/s)^{2}+2*9,8m/s^{2}30m }=60.1m/s
g.) la altura máxima alcanzada por la partícula sobre el suelo
se h la altura alcanzada por la parábola formada por el proyectil es decir que esta por +y
V_{y} ^{2}= V_{0y} ^{2}+2a(y-y_{0})=V_{0y} ^{2}-2gh
h=V_{0y} ^{2}/2g=(V0sen(Θ))^{2}/2g=50.7 m
la altura maxima sobre el suelo es: 50.7m+30m=80.7m