Question

Si me podrían ayudar con este problema de radicación y potenciación de números complejos en forma trigonométrica.
Raíz cuadrada de 2 + 2i

Answer 1

Forma Polar de los números complejos

Un número complejo z=a+ bi tiene la forma polar (o forma trigonométrica)

z= r(cos(θ)+isen(θ)

donde r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}  } y tan(θ)=b/a. El numero r es el modulo de z y θ es un argumento de z.

Además también se hará uso del Teorema de Moivre

Si z=r(cos(θ)+isen(θ) entonces para cualquier entero n se cumple que:

z^{n}= r^{n}( cos(nθ)+isen(nθ))

Este teorema dice: Para determinar la n potencia de un número complejo, tomamos la  n-ésima potencia del módulo y multiplicamos el argumento por n.

La función de partida es

\sqrt{2+i2}

Partimos de la expresión

2+2i=2(1+i)

Aplicando su forma polar y sabiendo que a=1, b=1, θ=π/4 y  r es:

r=\sqrt{1^{2}+1^{2}  } =\sqrt{2}

2(1+i)=2\sqrt{2}(cos(π/4)+isen(π/4)

Ahora se aplica el teorema de Moivre

\sqrt{2+i2}=(2\sqrt{2}) ^{1/2}(cos(\frac{1}{2}\frac{π}{4}) +isen(\frac{1}{2} \frac{π}{4}))=2^{3/4} (cos(\frac{π}{8}) +sen(\frac{π}{8}))

Finalmente se resuelve

\sqrt{2+i2}≈1.54+0.63i