Desde la cima de una colina que está a 30 m de altura lanzamos un proyectil con una velocidad de 500 m/s y un ángulo de 60º. Calcular: El punto donde llegará el proyectil al suelo. La velocidad con que llega al suelo. La posición del punto más alto de la trayectoria.
Respuestas
Al lanzar un proyectil con un ángulo de inclinación en este caso de 60° estamos en presencia de un movimiento denominado como lanzamiento inclinado, el cual lo podemos definir de la siguiente forma.
El lanzamiento inclinado puede considerarse como la integración del movimiento rectilíneo uniforme y el lanzamiento vertical en sus dos momentos, ascendente al inicio y descendente luego de llegar a su altura máxima.
Debido a esto posee una componente vertical y una horizontal de distancia y velocidad teniendo:
- Común el tiempo
- Aceleración vertical constante por la acción de la gravedad
- Aceleración horizontalmente no existe aceleración puesto que es MRU.
Para empezar a resolver este ejercicio debemos calcular las componentes de velocidad tanto vertical como horizontal que vienen dadas de la siguiente forma :
- Vox = Vo Cos α
- Voy = Vo Sen α
Donde:
Vo = 500 [m/s]
α = 60°
- Vox = 500 Cos 60º = 250 m/s
- Voy = 500 Sen 60º = 433,0127 m/s
Luego procedemos a calcular Tmax, ( tiempo en el cual se alcanza la altura máxima)
Vy = Voy + gt; en el cual al alcanzar la altura máxima, la componente vertical de la velocidad es igual a cero quedando de la siguiente forma.
0 = Voy + gt
del cual despejamos t = Tmax;
Tmax = - Voy/g = 44,1849 [s]
Nota: la gravedad siempre tiene signo negativo.
Luego procedemos a calcular el tiempo de vuelo, tiempo en el cual el proyectil termina su movimiento, y viene dado de la siguiente forma.
Tv = 2 Tmax = 88,3699 s
El alcance viene dado de la forma ( el alcance es el punto donde llegará el proyectil al suelo):
R = Vox Tv = 22092,4846 [m]
- La velocidad en su componente horizontal es constante durante todo el movimiento.
Para calcular la velocidad vertical a cualquier instante del movimiento usamos la siguiente fórmula:
Vy = Voy + gt
Velocidad con la cual llega al suelo ( con ambas componentes);
Vy(t=88,3699 s) = -433.0123 [m/s]
- V = (250 i - 433.0123 j )[m/s]
La posición del punto más alto de la trayectoria:
Ymax = Voy Tmax + 1/2 g·Tmax^2
Ymax = 9566.3264 [m]
teniendo en cuenta que el proyectil es lanzado desde una colina que está a 30 [m], la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 9596,3264 [m]