En un triangulo ABC los angulos A y B miden 30° y 135° respectivamente y el lado AB es de 100m. Determine la longitud de la perpendicular trazada desde el vertice C al lado AB prolongado.
Respuestas
La longitud de la perpendicular trazada desde el vertice C al lado AB prolongado es de 136.7 m.
Triangulo escaleno
Sea un triangulo ABC escaleno (se puede inferir que se trata de un triangulo escaleno ya que sus tres ángulos son distintos), ∡A=30°, ∡B=135° Y ∡C=135°+30°-180°=15°
La longitud perpendicular trazada desde el vértice C al lado AB prolongado es la altura h.
Para determinar esta altura seria aplicar la formula del área de un triangulo:
Área=\frac{base*h}{2}
Sin embargo; nos hace falta el área de triangulo, esta se puede determinar conociendo sus tres lados, para obtener su semiperimetro (p) y de este a partir de la formula de Herón se obtiene el área de un triángulo.
Las formulas son:
Semiperimetro
p=\frac{AB+BC+CA}{2}
formula de Herón
Área=\sqrt{p(p-AB)*(p-BC)*(p-CA)}
Tenemos el lado AB, nos falta los lados BC y CA. Para ello se usa la ley de los senos que dice:
\frac{sen(A)}{BC}=\frac{sen(B)}{CA}=\frac{sen(C)}{AB}
De la relación anterior determinamos el lado CA de esta forma:
\frac{sen(B)}{CA}=\frac{sen(C)}{AB}=\frac{sen(135°)}{CA}=\frac{sen(15°)}{100m}
Se despeja CA y se obtiene
AC=\frac{100m*sen(135°)}{sen(15°)}=273.2 m
y de la misma forma se obtiene BC
BC=\frac{CA*sen(A)}{sen(B)}=193.2 m
El semiperimetro es
p=283.2m
Y el área
Área=\sqrt{283.2(183.2)*(10)*(90))}=6833.3 m^{2}
y ahora solo queda hallas la incógnita
h=\frac{2*área}{AB}=\frac{2*6833.3m^{2} }{100m} =136.7 m