Question

tres números cuya suma es 3 forman una sucesión aritmética y sus cuadrados constituyen una sucesión geométrica. cuales son estos números?

Answer 1

Los 3 números cuya suma es 3 y ellos forman una sucesión aritmetica y sus cuadrados una sucesion geométrica son 1, 1, 1

Sea "a", "b" y "c" los tres números, en el orden de la sucesión aritmetica.

La suma es 3:

a + b + c = 3

Como forman una sucesión aritmética, de diferencia "d":

a1 = a

a2 = b = a + d

a3 = c = a + 2d

Sustituyendo:

a + a + d + a + 2d = 3

3a + 3d = 3

3a = 3 - 3d

a = 1 - d

Por lo tanto:

a = 1-d

b = 1 - d + d = 1

c = 1 - d + 2d = 1 + d

Sus cuadrados son:

a² = 1 - 2d + d²

b² = 1

c² = 1 + 2d + d²

Forman una sucesión geométrica de razón r, por lo tanto

a1' = 1 - 2d + d²

a2' = (1 - 2d + d²)*r = 1

⇒ r = 1/(1 - 2d + d²)

a3' = (1 - 2d + d²)*r² = 1*r = 1 + 2d + d²

⇒ r = 1 + 2d + d²

Igualando:

1/(1 - 2d + d²) = 1 + 2d + d²

⇒ (1 + 2d + d²)*(1 - 2d + d²) = 1

⇒ (1 + d)²*(1-d)² = 1

⇒ ((1+d)*(1-d))² = 1

⇒ (1+d)*(1-d) = 1

⇒ (1 - d²) = 1

⇒ d = 0

⇒ r = 1

a = 1, b = 1, c = 1, sucesión aritmética de diferencia 0

Sus cuadrados son:

1, 1, 1 sucesión geométrica de razón 1