Utilizando las técnicas de graficación, hallar la gráfica de y=〖-(|x|-1)〗^2. Describir cada paso realizado para llegar a la solución.
Utilizando las técnicas de graficación, trazar las gráficas de f(x)=1/2 x^3,h(x)=2x^3,m(x)=〖(2x)〗^3 a partir de la gráfica de y=x^3,. Describir cada paso realizado para llegar a la solución.
Respuestas
Desplazamiento horizontal de las graficas
Para hallar la gráfica usando métodos de graficacion se procede de la siguiente forma (en la figura tienes el resultado):
En tu ejercicio se plantean dos métodos uno es el desplazamiento horizontal y el otro es el alargamiento o acortamiento de las gráficas
Primero vamos con el desplazamiento horizontal.
La gráfica y=f(x+c) es la gráfica y=f(x) desplazada a la izquierda c unidades.
Suponiendo que c es mayor pero no igual a 0
- Para gráficar y=f(x-c), se desplaza la gráfica de y=f(x) a la derecha c unidades
- Para gráficar y= f(x+c), se desplaza la gráfica de y=f(x) a la izquierda c unidades.
Tu ejercicio para este caso se resuelve considerando la definición anterior
1.)y=〖-(|x|-1)〗^2=(|x|-1)^2
La función de partida es y=x^2 (esta es la que se va a desplazar horizontalmente). Este caso particular le debes prestar mucha atención porque tienes un valor absoluto, por lo tanto la función se evalúa de esta forma.
Para el valor absoluto hay que considerar que:
|x|=x si x≥0
|x|=-x si x<0
Lo anterior nos dice que hay dos soluciones para la función
si x≥0 la función "y" queda
y=(x-1)^2 y este caso es el mismo que el anterior descrito.
Entonces su desplazamiento se describe así:
y=(x-1)^2
La función de partida es y=x^2 su gráfica es una parábola, se desplaza una unidad a la derecha. Si nos fijamos en el enunciado que dice:
Para gráficar y=f(x-c), se desplaza la gráfica de y=f(x) a la derecha c unidades.
La imagen te lo adjunto al final, te recuerdo que no es exacta y al "tanteo" solo es para que sepas como debería de dar.
Ahora para
si x<0 la función "y" queda
y=(-x-1)^2=(x+1)^2
Entonces en este caso la función y=x^2 cuya gráfica es una parábola, se desplaza una unidad a la izquierda. Buscamos el enunciado antes descrito
- Para gráficar y= f(x+c), se desplaza la gráfica de y=f(x) a la izquierda c unidades.
Alargamiento y estiramiento horizontal.
En este caso te están solicitando o un alargamiento o estiramiento horizontal de una gráfica.
El enunciado seria:
sea y=f(cx) donde c es una constante cualquiera.
Para cambiar la gráfica de y=f(x) a la gráfica de y =f(cx), se debe acortar o alargar la gráfica horizontalmente por un factor de 1/c.
Para saber como se hace, solo hay que conocer los siguientes puntos.
La grafica de y=f(c):
- Si c (mayor pero no igual) a 1, acorte la grafica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
- Si 0 (menor pero no igual) c (menor pero no igual) a 1, alargue la grafica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
Resolviendo
Función de partida (esta es la que se va a alargar o acortar por el factor 1/c):
y=x^3
1.) f(x)=1/2 x^3
En este caso c=1/2, por consiguiente
1/c=1/1/2=2
En este caso c es menor que 1, por lo tanto para la función y=x^3 se alarga la gráfica horizontalmente por un factor de 2. Coloquialmente hablando es lo mismo que decir que la función se hace mas abierta en x un factor de 2.
2.) h(x)=2x^3
En este caso c=2 que es mayor que 1 por lo tanto en esta situación que es el mismo que para la función m(x), se acorta horizontalmente y=x^3 por un factor de 1/c es decir 1/2. Coloquialmente hablando es lo mismo que decir que la función se hace mas cerrada en x un factor de 1/2.
3.) m(x)=〖(2x)〗^3= 8x^3
Este caso c=8 que es mayor que 1 por lo tanto, se acorta horizontalmente y=x^3 por un factor de 1/c es decir 1/8. Coloquialmente hablando es lo mismo que decir que la función se hace mas cerrada en x un factor de 1/8 (como este número es mucho menor que 1/2, la función m(x) se cierra mucho mas que la función h(x) .
