Hola tengo un paralelogramo con una diagonal de 23,8 m, y dos ángulos de 79 y 58 grados, estos están marcados en los extremos de la diagonal. Me pide hallar los lados, todos los ángulos y el área.
Respuestas
El Área es 102,884 m² y las longitudes de sus lados es AB = 11,75 m; BC =15,42 m; CD = 17,85 m; AD = 13,60 m; el Perímetro mide 58,62 metros.
Datos:
Diagonal = 23,8 m
Ángulo 1 (∡ A) = 79°
Ángulo 2 (∡ C) = 58°
Para mejor comprensión, análisis y solución del problema se plantea el diagrama de la figura anexa. (ver imagen)
De un Paralelogramo se conoce que la suma de sus ángulos internos es 360° y que dos ángulos contiguos suman 180°
Luego si dos ángulos contiguos suman 180°, entonces:
180° = ∡A + ∡B
∡B = 180° - 79°
∡B = 101°
Luego el ángulo D (∡) es:
360° - ∡A + ∡B +∡C + ∡D
∡D = 360° - ∡A - ∡B -∡C
∡D = 360° - 79° - 101° - 58°
∡D = 122°
Para el Triángulo ABC se aplica la Ley de los Senos.
23,8 m/Sen 101° = AB/Sen (58°/2) = BC/Sen (79°/2)
Cálculo de AB .
AB = 23,8 m x (Sen 29°/Sen 101°)
AB = 11,75 m
Hallando BC.
BC = 23,8 m (Sen 39.5°/Sen 101°)
BC = 15,42 m
Para encontrar las longitudes CD y AD se aplica la Ley de los Senos al triangulo ACD.
23,8/Sen 122° = CD/Sen 39,5°= AD/Sen 29°
Se despeja CD.
CD = 23,8 m (Sen 39,5°/ Sen 122°)
CD = 17,85 m
Despejando AD.
AD = 23,8 m (Sen 29°/ Sen 122°)
AD = 13,60 m
El Perímetro (P) del Paralelogramo es la sumatoria de las longitudes de sus Lados o Aristas.
P = (11,75 + 15,42 + 17,85 + 13,60) m
P = 58,62 metros
Para calcular el área se necesita conocer la altura (h).
La misma se obtiene de la proyección del triángulo rectángulo CMD.
El ángulo DM se obtiene del Complementario de 122°
180° = 122° + ∡DM
∡DM = 180° - 122° = 58°
∡DM = 58°
Por teoría se conoce que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°.
180° = 90° + 58° + ∡CM
∡CM = 180° - 90° - 58°
∡CM = 32°
Con estos datos se aplica la Ley de los Senos en este triángulo CMD.
17,85 m/Sen 90° = DM/Sem 32° = h/Sen 58°
Se despeja la altura (h)
h = 17,85 m(Sen 58°/ Sen90° )
h = 15,13 m
El área de un paralelogramo se calcula mediante la fórmula siguiente:
A = (base x altura)/2
A = (13,6 m x 15,13 m)/2
A = (205,768/2) m²
A = 102,884 m²
