Question

Para cierto articulo, la ecuación de demanda es P=5 -0.001x. ¿Que valor de x , maximiza el ingreso? Si la función de costo es C=2800+x, encuentre el valor de x que maximiza la utilidad. Calcule la utilidad máxima.

Answer 1

Sabiendo que la demanda viene dada por P=5 -0.001x y el costo por C=2800+x. Entonces, el valor de x que maximiza la utilidad es de 2.000 unidades y la utilidad máxima es de 1.200 pesos

Considerando que podemos vender una cantidad x de artículos a un precio P=5 -0.001x con un costo total de C=2800+x . Entonces la función de utilidad viene dada por:

U(x) = (5 -0.001x)*x - (2800+x)

U(x) = 5x-0.001x^2 - (2800+x)

U(x) = 5x-0.001x^2 -2800-x

U(x) = -0.001x^2 + 4x -2800  

Si queremos maximizar la función de utilidad, debemos derivarla, luego igualarla a cero para hallar los puntos críticos, y luego ver cuales son los máximos y los mínimos.  

Luego:

U(x) = -0.001x^2 + 4x -2800  

U'(x) = 2*(-0.001x) + 4

U'(x) = -0.002x + 4

0 = -0.002x + 4

x = 2.000, valor crítico.

Luego, averiguamos si el valor crítico es máximo o mínimo, en la segunda derivada de la funicón utilidad

U''(x) = -0.002 , como U''(x) ˂ 0 entonces U(x) tiene un máximo relativo en (2.000, U(2.000))  

Luego, la utilidad máxima es de:

U(x) = -0.001*(2.000)^2 + 4*2.000 -2.800  

U(x) = 1.200

Answer 2

La utilidad máxima que se obtiene de cierto artículo es:

• U(max) = 1200
• x = 2000 unidades

¿Qué es la utilidad?

La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.

U = I - C

Siendo;

• Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.

        I = p × q

• Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.

        C = Cf + Cv

¿Cuál es la utilidad máxima?

Definir;

• Ingreso: I(x) = (5-0.001 x)x = 5x -0.001 x²
• Costo: C(x) = 2800 + x

Sustituir;

U(x) = 5x -0.001 x² - x - 2800

U(x) = -0.001 x² + 4x - 2800

Aplicar primera derivada;

U'(x) = d/dx(-0.001 x² + 4x - 2800)

U'(x) = -0.002x + 4

Igualar U'(x) a cero;

-0.002x + 4 = 0

x = 4/0.002

x = 2000

Sustituir;

U(max) = -0.001 (2000)² + 4(2000) - 2800

U(max) = 1200

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