Question

Diseño de un tanque en forma de cilindro recto. La fundidora donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque cilíndrico, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies3. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.

Answer 1

El tanque de menor peso es el de menor cantidad de material de construcción, es decir el de menor área superficial posible. Esta es la suma de las áreas lateral y de piso del cilindro y es mínima cuando el radio es igual a $5\sqrt[3]{\frac{4}{\pi} }$ pies y la altura es igual a $5\sqrt[3]{\frac{4}{\pi} }$ pies.

Explicación paso a paso:

La función objetivo es el área superficial del cilindro abierto. Si llamamos h la altura y r el radio; la función objetivo viene dada por:

$A=2\pi rh+\pi r^{2}$

Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:

$V=\pi r^{2}h=500$ de aqui  

$h=\frac{500}{\pi r^{2}}$

por tanto la función objetivo es

$A=\frac{1000}{r}+\pi r^{2}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.  

$A'=-\frac{1000}{r^{2}} +2 \pi r$

A' = 0 ⇒ $=-\frac{1000}{r^{2}} +2 \pi r =0$ ⇒  

$-1000+2 \pi r^{3}=0$ ⇒ $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$A''=\frac{2000}{r^{3}} +2 \pi$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$A''_{\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}}>0$ ⇒ $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$ es un mínimo de la función A.  

Cuarto, hallamos el valor de h sustituyendo el valor de r en la expresión correspondiente

$h=\frac{500}{\pi (\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}})^{2}}=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$