Question

lim-> -2
$f(x) = \frac{ {x }^{2} + x - 2 }{ {x}^{ 2} - x - 6}$
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Answer 1

Respuesta: 3/5

Explicación paso a paso:

si reemplazamos -2 en x nos queda

$\lim_{x \to \(-2} \frac{x^{2} +x-2}{x^{2}-x-6 }$

$\frac{0}{0}$

como no se puede dividir con cero. Vamos a tener que proseguir para eso podemos hallar las raices de ambas funciones con la resolvente

$\frac{-b+/-\sqrt{ {b}^{2}-4 \times a \times c} }{2 \times a}$

donde del numerador sacamos que

${x}^{2}+ x - 2 = 0$

a=1;b=1 y c=-2 usando esa formula hallamos que su raices son  -2 y -1 por lo que se puede escribir como

$(x - 1) ( x + 2)$

ya que a hacer esa operacion nos dara la funcion de numerador

ahora del denominador sacamos que

${x}^{2}-x-6 = 0$

donde a=1; b=-1 y c=-6

aplicando su resolvente queda que su raices son -2 y 3 por lo que dicha funcion se puede escribir como

$(x - 3)(x + 2)$

volvamos a limite pero reemplazamos x^2+x-2 por (x-1)(x+2) y x^2-x+6 por (x-3) (x+2) quedando que

$\lim_{x \to \(-2} \frac{(x - 1)( x+ 2)}{(x - 3)(x \ + 2)}$

si reemplazamos -2 nos sigue dando cero porque  (-2+2)=0 y 0 multiplicado a cualquier numero es cero. Pero podemos simplificar

$\lim_{x \to \(-2} \frac{(x + 2)}{(x + 2)}= 1$

por ende el limite ahora queda

$\lim_{x \to \(-2} \frac{x-1}{x-3}$

reemplazando x por -2 queda que

limite es igual a

$\frac{-2- 1}{-2-3}=\frac{3}{5}$

Answer 2

Dado que el reemplazo directa nos da 0/0 podemos  intentar la división entre los polinomios.

(x² + x - 2) / (x² - x - 6) = 1 + 2 / (x - 3)

Reemplazamos x = - 2

L = 1 + 2 / (- 3 - 2) = 1 - 2/5 = 3/5

Mateo