Question

1. Considere la recta cuya ecuación es L: 3x+ky+2=0. Determine k∈R para que la distancia del punto (1, 1) a L sea:

a. Igual a 2 unidades.

b. Menor que 5 unidades.

c. Mayor que 1 unidad.

Answer 1

Respuesta:

a) Ningun valor real de k se verifica.

b) Cualquier valor real de k se verifica

c) todo valor real de k mayor que -8/5 se verifica

Explicación paso a paso:

distancia entre el punto y la recta

punto

P(a,b)

P(1,1)

recta

L; Ax+By+C=0

3x+ky+2=0

distancia

d^2=(Aa+Bb+C)^2/(A^2+B^2)

d^2=(3(1)+k(1)+2)^2/(3^2+k^2)

d^2=(3+k+2)^2/(9+k^2)

d^2=(k+5)^2/(k^2+9)

d^2=(k^2+10k+25)/(k^2+9)

a) d=2,    d^2=4

(k^2+10k+25)/(k^2+9)=4

k^2+10k+25=4(k^2+9)

k^2+10k+25=4k^2+36

0=3k^2-10k+11

discriminante

10^2-4(3)(11)=100-132=-32

discriminante negativo, k no tiene valor real

La recta L no existe.

b) d<5,     d^2<25

(k^2+10k+25)/(k^2+9)<25    (k^2+9) es positivo

k^2+10k+25<25(k^2+9)

k^2+10k+25<25k^2+225

0<24k^2-10k+200  entre 2

0<12k^2-5k+100  por 4(12)

0<4(12)12k^2-4(12)5k+4(12)100

0<(24k)^2-2(5)(24k)+4800

0<(24k)^2-2(5)(24k)+25 -25+4800

0<(24k-5)^2+4775

(24k-5)^2 es positivo

0<(24k-5)^2+4775 se verifica para cualquier valor de k

c) d>1,   d^2>1

(k^2+10k+25)/(k^2+9)>1    (k^2+9) es positivo

k^2+10k+25>1(k^2+9)

k^2+10k+25>k^2+9

10k>-16

k>-16/10

k>-8/5