1. Considere la recta cuya ecuación es L: 3x+ky+2=0. Determine k∈R para que la distancia del punto (1, 1) a L sea:
a. Igual a 2 unidades.
b. Menor que 5 unidades.
c. Mayor que 1 unidad.
Respuestas
Respuesta:
a) Ningun valor real de k se verifica.
b) Cualquier valor real de k se verifica
c) todo valor real de k mayor que -8/5 se verifica
Explicación paso a paso:
distancia entre el punto y la recta
punto
P(a,b)
P(1,1)
recta
L; Ax+By+C=0
3x+ky+2=0
distancia
d^2=(Aa+Bb+C)^2/(A^2+B^2)
d^2=(3(1)+k(1)+2)^2/(3^2+k^2)
d^2=(3+k+2)^2/(9+k^2)
d^2=(k+5)^2/(k^2+9)
d^2=(k^2+10k+25)/(k^2+9)
a) d=2, d^2=4
(k^2+10k+25)/(k^2+9)=4
k^2+10k+25=4(k^2+9)
k^2+10k+25=4k^2+36
0=3k^2-10k+11
discriminante
10^2-4(3)(11)=100-132=-32
discriminante negativo, k no tiene valor real
La recta L no existe.
b) d<5, d^2<25
(k^2+10k+25)/(k^2+9)<25 (k^2+9) es positivo
k^2+10k+25<25(k^2+9)
k^2+10k+25<25k^2+225
0<24k^2-10k+200 entre 2
0<12k^2-5k+100 por 4(12)
0<4(12)12k^2-4(12)5k+4(12)100
0<(24k)^2-2(5)(24k)+4800
0<(24k)^2-2(5)(24k)+25 -25+4800
0<(24k-5)^2+4775
(24k-5)^2 es positivo
0<(24k-5)^2+4775 se verifica para cualquier valor de k
c) d>1, d^2>1
(k^2+10k+25)/(k^2+9)>1 (k^2+9) es positivo
k^2+10k+25>1(k^2+9)
k^2+10k+25>k^2+9
10k>-16
k>-16/10
k>-8/5