Question

Tengo tarea de estadistica, pero no la entiendo
a) Una moneda se lanzará 10 veces, revisando el posible resultado de la caída respecto a la cara, calcular la probabilidad de que caigan 2 caras o 5 caras, b) Se lanzan dos dados previamente calibrados, al revisar la forma de como resultaron las caídas de sus de caras calcular la probabilidad de que la suma sea exactamente 7 o 4,c) Se tienen 5 bolitas Azules, 8 Blancas y 10 Verdes; si extraemos en un solo saque tres bolitas; ¿Cuál sería la probabilidad de que se extraigan 2 blancas y 1 azul o 2 azules y una verde? d) De un juego de naipes españoles previamente barajados se extrae un naipe; ¿Cuál será la probabilidad de salga un rey o un caballo de basto?

Answer 1

La probabilidad de que caigan 2 caras o 5 caras es  33/128, la probabilidad de que la suma sea exactamente 7 o 4  es  1/4, la probabilidad de que se extraigan 2 blancas y 1 azul o 2 azules y una verde es 240/1771, la probabilidad de salga un rey o un caballo de basto es 1/8.

Explicación:

a) Una moneda se lanzará 10 veces, revisando el posible resultado de la caída respecto a la cara, calcular la probabilidad de que caigan 2 caras o 5 caras,

Definimos la variable aleatoria   x  =  cantidad de caras que aparecen en los 10 lanzamientos. Vamos a construir el espacio muestral con el número de combinaciones (Comb) de resultados que aparecen para que se dé un valor determinado de  x. Para ello usaremos el número combinatorio:

$(\begin{array}{c}m\\n\end{array})=\frac{m!}{(m-n)!n!}$

donde  m  es el total de lanzamientos y  n  es el número de caras que aparecen entre los  10  lanzamientos.

$\begin{array}{c|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|r} x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\Comb&1&10&45&120&210&252&210&120&45&10&1\end{array}$

La probabilidad de caigan 2 caras o 5 caras viene dada por la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de esos eventos. La probabilidad es la razón entre el número de formas que ocurra el evento y el número de elementos del espacio muestral, en este caso 1152 combinaciones de resultados posibles.

P(x = 2)  +  P(x = 5)  =  45/1152  +  252/1152  =  297/1152  =  33/128

b) Se lanzan dos dados previamente calibrados, al revisar la forma de como resultaron las caídas de sus de caras calcular la probabilidad de que la suma sea exactamente 7 o 4,

Definimos la variable aleatoria   y  =  suma de las caras de los dados. Vamos a construir el espacio muestral con el número de combinaciones (Comb) de resultados que aparecen para que se dé un valor determinado de  y.

$\begin{array}{c|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|r} y&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\Comb&1&2&3&4&5&6&5&4&3&2&1\end{array}$

La probabilidad de que la suma sea 7 o 4 viene dada por la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de esos eventos. La probabilidad es la razón entre el número de formas que ocurra el evento y el número de elementos del espacio muestral, en este caso 36 combinaciones de resultados posibles.

P(y = 4)  +  P(y = 7)  =  3/36  +  6/36  =  9/36  =  1/4

c) Se tienen 5 bolitas Azules, 8 Blancas y 10 Verdes; si extraemos en un solo saque tres bolitas; ¿Cuál sería la probabilidad de que se extraigan 2 blancas y 1 azul o 2 azules y una verde?  

Usaremos números combinatorios para calcular las probabilidades. El número de formas posibles que ocurra el evento de interés es el producto de las combinaciones de colores en la muestra de tres. El número de resultados posibles del espacio muestral es el número combinatorio que reporta cuantas combinaciones de tres bolas podemos formar con las 23 bolitas.

$P(2By1A)+P(2Ay1V)=\frac{(\begin{array}{c}8\\2\end{array})(\begin{array}{c}5\\1\end{array})(\begin{array}{c}10\\0\end{array})}{(\begin{array}{c}23\\3\end{array})}+\frac{(\begin{array}{c}8\\0\end{array})(\begin{array}{c}5\\2\end{array})(\begin{array}{c}10\\1\end{array})}{(\begin{array}{c}23\\3\end{array})}$         ⇒

$P(2By1A)+P(2Ay1V)=\frac{20}{253}+\frac{100}{1771}=\frac{240}{1771}$

d) De un juego de naipes españoles previamente barajados se extrae un naipe; ¿Cuál será la probabilidad de salga un rey o un caballo de basto?

La baraja es un espacio muestral equiprobable; es decir, cada baraja tiene la misma probabilidad de ser extraida. La probabilidad de extracción de una carta en particular se calcula dividiendo por el número total de cartas la cantidad de cartas con una característica similar a la deseada que existan en la baraja.

Resolvamos nuestro problema:

Probabilidad de extraer un rey de una baraja española: En la baraja hay cuatro reyes en un total de cuarenta cartas, entonces

Probabilidad de extracción de un rey  =  P(R)  =  4/40  =  1/10

Probabilidad de extraer un caballo de basto de una baraja española: En la baraja hay un caballo de basto en un total de cuarenta cartas, entonces

Probabilidad de extracción de un caballo de basto  =  P(CB)  =  1/40

Entonces,

P(R)  +  P(CB)  =  4/40  +  1/40  =  5/40  =  1/8