Question

Resuelve los siguientes planteamientos con base en el criterio de Nyquist y el Teorema de Shannon.

Planteamiento 1.
Si tenemos un cable de par trenzado tiene un ancho de banda de 100 MHz y queremos transmitir información a una tasa de bits de 500 Mbps. ¿Será suficiente una SNR de 30dB para transmitir fiablemente esta información?
Argumenta por qué si o por qué no bajo el teorema de Shannon.

Planteamiento 2
¿Cuál es la capacidad máxima de un medio con un ancho de banda de 750KHz y una Relación señal / ruido de 30dB?
Argumenta y aplica la resolución bajo el Teorema de Shannon

Planteamiento 3
Un disco compacto graba su señal de audio digitalmente utilizando PCM.
Supongamos que tenemos un audio de señal con ancho de banda de 15 kHz.
Bajo el criterio de Nyquist argumenta cada inciso.
a) ¿Cuál es la tasa de Nyquist?
b) Si las muestras de Nyquist son cuantificadas en L = 65,536 niveles y luego codificadas en binario, determina el número de dígitos binarios necesarios para codificar una muestra.
c) Determina el número de dígitos binarios por segundo (bit/s) requerido para codificar el señal de audio.
d) Por razones prácticas, PCM se muestran a una velocidad muy superior a la de Nyquist ya que los discos compactos usan 44,100 muestras por segundo.
e) Entonces, si L = 65,536, determina el número de bits por segundo necesarios para codificar la señal.

Answer 1

Planteamiento 1:

Para poder comprobar que el cable de par trenzado, el cual tiene un ancho de bande de 100MHz, sea capaz de transmitir a una tasa de bits de 500Mbps y con una relación señal a ruido de 30dB (que convertidos linealmente son 1000), debemos aplicar el teorema de Shannon, que es el siguiente:

$CapacidadCanal=Bw*log_{2}(1+SNR)$

Donde Bw es el ancho de banda del canal y SNR es la relación señal a rudio lineal. En este caso tenemos que Bw es 100MHz y que SNR es igual a 1000

$C=100MHz*log_{2} (1+1000) = 996.722Mbps$

De aquí tenemos que el canal soporta una transmisión de 996.722Mbps, dicha cantidad es mayor a la tasa de bits que el planteamiento pregunta si puede pasar, por lo que la respuesta es que si se puede trasmitir la señal deseada.

Planteamiento 2:

Para determinar la capacidad máxima del canal, cuyo ancho de banda es de 750KHz y tiene una relación señal a ruido de 30dB (1000 en lineal), debemos aplicar el teorema de Shannon que fue utilizado en el planteamiento anterior.

$C=750KHz*log_{2} (1+1000)=7.475Mbps$

Este resultado nos indica que el canal tiene una capacidad máxima de transmisión de unos 7.475Mbps.

Planteamiento 3:

Nos indican que el ancho de banda es de 15Khz, el teorema de Nyquist nos indica que la frecuencia de muestreo debe ser por lo menos 2 veces mayor que la frecuencia de la señal.

$Fs\geq 2*Fmax$

Entonces en este caso, nos dicen que el ancho de banda de la señal es de 15 KHz, por lo que la frecuencia de muestreo debe ser por lo menos 30KHz.

Las muestras serán cuantificadas en 65536 niveles, por lo que podemos determinar el número de dígitos binarios para codificar la muestra de la siguiente forma:

$L=2^{n}\\ 65536=2^{n}\\ n=16$

La letra n viene siendo el número de dígitos binarios para la codificación.

Para hallar la tasa de bits que se utiliza para codificar la señal, simplemente debemos multiplicar la frecuencia de muestreo con el número de dígitos binarios .

$Fbit=16*30=480Kbps$

Ahora nos cambian el planteamiento, indicando que se realizará el muestreo con una frecuencia de 44.1KHz (debido a que nos dicen que los discos usan 44.1 muestras por segundo).

partiendo por la misma cantidad de niveles (lo que quiere decir que se mantiene el número de dígitos binarios). nos piden la nueva tasa de bits.

$Fbit=16*44.1=705.6Kbps$