Question

Señale si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y justifique su respuesta citando los conceptos pertinentes y proporcione un ejemplo para cada caso.

Answer 1

Producto punto para los vectores

Los enunciados planteados son ambos verdaderos. Ambos son teorema de los producto punto de los vectores, para demostrarlo se usara un ejemplo.

1.) Teorema: Sea u un vector. Entonces

u·u=║u║^{2}

Se demuestra, usando el vector u=(a,b) entonces su modulo es:

║u║^{2}=a^{2} +b^{2}

Por otro lado

u·u=(a,b)·(a,b)=a·a+b·b=a^{2} +b^{2}

Por congruencia

u·u=║u║^{2}

2.) Teorema: El producto punto cumple con la siguiente propiedad

u·(cv)=c(u·v)

Para demostrarlo: Sea u=(a,b)   y v=(e,d), ambos vectores.

El primer miembro del Teorema:

u·(cv)=(a+b)·c(e+d)=(a+b)·(ce+cd)=(cae+cbd)=c(ae+bd)  

En el paso anterior, se aplico la propiedad distributiva de las sumas. Para el segundo miembro del Teorema:

c(u·v)=c((a+b)·(e+d))=c(ae+bd)

Y así se comprueba que

u·(cv)=c(u·v)