Question

determinas sus raíces o soluciones. y=x^2-5x+6 y=2x^2-7x+3 y=-x^2+7x+10 y=(7-3x)/(5-x)-2x/(3-x) y=x^2-18x+80 x=y^2+18y-80
DESAROLLO DE LOS EJERCICIOS

Answer 1

En todos los items se aplican técnicas de factorización para ecuaciones de segundo grado. Especificamente, binomios con términos semejantes y la resolvente o fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado.

Explicación paso a paso:

a.    y = x² - 5x + 6  

Vamos a intentar la técnica de binomios con término semejante:  

(x ± a)(x ± b) donde,  

El signo en el primer factor es el signo del término grado uno en la ecuación y el signo en el segundo factor es el producto de los signos de los términos grado uno y grado cero.  

a y b son dos que sumados (con los signos mencionados) den como resultado el coeficiente del término grado uno y multiplicados den como resultado el coeficiente del término grado cero.  

En el caso que nos ocupa:  

Signo en el primer factor = -  

Signo en el segundo factor = (-)(+) = -  

a = (-3) + (-2) = -5  

b = (-3)(-2) = +6  

Por tanto  

y = x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)                       Las raíces son: x = 3 ∧ x = 2  

b.    y = 2x² - 7x + 3  

Vamos a aplicar la fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado o Resolvente:  

Sea la ecuación ±ax² ± bx ± c = 0 entonces,  

$\bold{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$

En el caso que nos ocupa:  

a = 2               b = -7               c = 3

Sustituyendo en la fórmula

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}\qquad\Rightarrow$

$x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{7\pm5}{4}\qquad\Rightarrow$

Las raíces son:                  x = 3    ∧     x = ¹/₂

Por tanto                           y = 2x² - 7x + 3 = (x - 3)(x - ¹/₂)  

c.    y = -x² + 7x + 10  

Vamos a seguir el procedimiento en b.

a = -1               b = 7               c = 10

Sustituyendo en la fórmula

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(7)\pm\sqrt{(7)^{2}-4(-1)(10)}}{2(-1)}\qquad\Rightarrow$

$x=-\frac{-7\pm\sqrt{89}}{2}\qquad\Rightarrow$

Las raíces son:       $\bold{x=\frac{7-\sqrt{89}}{2}}$    ∧     $\bold{x=\frac{7+\sqrt{89}}{2}}$

Por tanto       $\bold{y=-x^{2}+7x+10=(x-\frac{7-\sqrt{89}}{2})(x-\frac{7+\sqrt{89}}{2})}$  

d. $\Symbol{y=\frac{7-3x}{5-x}-\frac{2x}{3-x}}$

Primero resolvemos la diferencia de las fracciones

$\frac{7-3x}{5-x}-\frac{2x}{3-x}=0\qquad\Rightarrow\qquad\frac{(7-3x)(3-x)-2x(5-x)}{(5-x)(3-x)}=0\qquad\Rightarrow$

Luego resolvemos el numerador, pues la fracción es nula solo si el numerador es nulo

$(7-3x)(3-x)-2x(5-x)=0\qquad\Rightarrow\qquad5x^{2}-26x+21=0\qquad\Rightarrow$

Aplicamos la fórmula usada en b. y c.

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-26)\pm\sqrt{(-26)^{2}-4(5)(21)}}{2(5)}\qquad\Rightarrow$

$x=\frac{26\pm\sqrt{256}}{10}=\frac{26\pm16}{10}\qquad\Rightarrow$

Las raíces son:                  x = 1    ∧     x = ²¹/₅

e.    y = x² - 18x + 80  

Usando la técnica aplicada en a.

Signo en el primer factor = -  

Signo en el segundo factor = (-)(+) = -  

a = (-10) + (-8) = -18  

b = (-10)(-8) = +80  

Por tanto  

y = x² - 18x + 80 = (x - 10)(x - 8)           Las raíces son: x = 10   ∧   x = 8  

f.    x = y² + 18y - 80

Vamos a seguir el procedimiento en b. y c.

a = 1               b = 18               c = -80

Sustituyendo en la fórmula

$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(18)\pm\sqrt{(18)^{2}-4(1)(-80)}}{2(1)}\qquad\Rightarrow$

$y=\frac{-18\pm\sqrt{644}}{2}=\frac{-18\pm2\sqrt{161}}{2}=-9\pm\sqrt{161}\qquad\Rightarrow$

Las raíces son:       $\bold{y=-9+\sqrt{161}}$

   ∧     $\bold{y=-9-\sqrt{161}}$

Por tanto       $\bold{x=y^{2}+18y-80=(y+9-\sqrt{161})(y+9+\sqrt{161})}$