Question

la suma de Riemann para la función Efe de equis es igual a equis elevado a la cuatro menos dos veces el coseno de equis en el intervalo [11,2005]

Answer 1

La Suma de Riemann "es una operación de aproximación del valor de una integral mediante una suma finita"

Esta suma se hace dividiendo la región de la figura en distintas formas (rectángulos, trapezoides, parábolas, etc), esta división forma una región.

Esta división de una región en formas más pequeñas no da, generalmente, un resultado geométrico idéntico a la región que se quiere calcular, por lo tanto, la suma de Riemann dará un resultado diferente al del área real que se está midiendo, pero esto se puede reducir al minimizar mucho más las regiones

Usualmente las sumas de Riemann son difíciles de realizar de manera directa por lo que la estrategia predilecta es transformar dicha suma en una integral que son comúnmente más fáciles de resolver.

Calcular la suma de Riemann de la función $f(x) = x^4 - 2cos(x)$ implica hacer uso de la integral, su representación como serie sería la siguiente:

$\lim_{n \to \infty}  \frac{2005-11}{n} \sum_{i=0}^{n}{f(11+ \frac{2005-11}{n}i)} \\\\\\ \lim_{n \to \infty}  \frac{1994}{n} \sum_{i=0}^{n}{f(11+ \frac{1994}{n}i)}\\\\\\ \lim_{n \to \infty}  \frac{1994}{n} \sum_{i=0}^{n}{(11+\frac{1994}{n}i)^4 -2cos(11+\frac{1994}{n}i)}$

Esta expresión  se puede resumir como

$\int\limits^{2005}_{11} {x^4 - 2cos(x)} \, dx$

que resolviendo mediante integración por tablas quedaría de la siguiente manera:

$\int\limits^{2005}_{11} {x^4 - 2cos(x)} \, dx = \frac{2005^5}{5} - 2 sin(2005) - \frac{11^5}{5} + 2sin(11) = \frac{2005^5-11^5}{5} + 2[sin(11)-sin(2005)]$