Question

Determina el volumen del paralelepípedo que tiene un vértice en el origen y lados u=(i-2j 4k) v=(3i 4j k) y w=(-i j k)

Answer 1

El volumen del paralelepipedo es 39 U ³

El volumen de un paralelepipedo: definido a través de 4 puntos formado por tres vectores es el determinante de la matriz formada por los vectores donde cada vector ocupa una fila y las componentes de cada vector en i,j,k son las columnas de dichas filas.

Formula de Leibniz: es una formula cerrada para determinantes de matrices cuadradas, en el caso de la matriz 3x3 la formula es:

Sea La matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]$

Entonces |A| = (a*e*i) - (f*h*a) - (b*d*i) + (b*f*g) + (d*h*c) - (c*e*g)  

Por lo tanto tenemos los vectores: u=(i-2j+ 4k) v=(3i + 4j + k) y w=(-i + j + k), la matriz sera:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&4\\3&4&1\\-1&1&1\end{array}\right]$

Procedemos a calcular el determinante usando la formula de Leibniz:

(1*4*1)-(1*1*1)-(-2*3*1)+(-2*1*(-1))+(4*3*1)-(4*4*(-1))

= 4 - 1 + 6 + 2 + 12 + 16 =39 U ³