Demostrar que la función de variable real f (x) = kx + b es estrictamente creciente para k > 0 y estrictamente decreciente para k < 0.
Respuestas
Queda demostrado que en efecto f (x) = kx + b es estrictamente creciente para k > 0 y estrictamente decreciente para k < 0.
Una función f(x) es estrictamente creciente si para cuales quieras números a y b tales que a > b entonces f(a) > f(b)
Una función f(x) es estrictamente decreciente si para cuales quieras números a y b tales que a > b entonces f(a) < f(b)
Tenemos que:
f(x) = kx + b
Si k > 0, sean a y b dos números distintos donde a > b ⇒ a - b > 0
f(a) = k*a + b
f(b) = k*b + b
f(a) - f(b) = k*a + b - k*b - b = k*a + k*b = k*(a - b)
Ahora como a a - b > 0 y k > 0 entonces k*(a - b) > 0
f(a) - f(b) = k*(a - b) > 0
Por transitividad:
f(a) > f(b) La función es estrictamente creciente.
Si k < 0, sean a y b dos números distintos donde a > b ⇒ a - b > 0
f(a) = k*a + b
f(b) = k*b + b
f(a) - f(b) = k*a + b - k*b - b = k*a + k*b = k*(a - b)
Ahora como a a - b > 0 y k < 0 entonces k*(a - b) < 0
f(a) - f(b) = k*(a - b) < 0
Por transitividad:
f(a) < f(b) La función es estrictamente decreciente.