Question

AYUDA !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Resolver las siguientes inecuaciones, considere x ∈R . (12 PTS)
a) 5(x-1)-x(7-x)>x^2
b) |2x + 4| < 10
c) |(x-3)/(x-4)|<5/2
d)4/(x+1)-3/(x+2)>1
e) |x-1|≥(x+1)/2
f) 3x/2+3|x-2|≤3


Determine el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades, considere Re =R . (14 PTS)
p(x): 2 + 4x < 6x + 7
q(x): 2 < 2x - 2 ≤ 12
r(x): 8 - 3x ≤ 2x - 7 < x – 13
p(x): 2x/(x-4)≤8
n(x):2x^3-5x^2+2x≤0
p(x): (x^2-3x-6)/(13x-x^2-42)≥0
q(x): (x^2-3x-6)/(x^2-1)≤1

Answer 1

Las inecuaciones son operaciones aritméticas que relacionan números y letras. Se caracterizan por contener signos de > (mayor que) o ≥ (mayor o igual que), < (menor que) o ≤ (menor o igual que) .

Vamos a resolver paso a paso las inecuaciones tomando en cuenta que x∈R:

a.    $5(x-1)-x(7-x)>x^{2}$  

Reescribimos e igualamos a cero,

$x^{2} -2x-7=0$

Aplicando el método de la resolvente,

$x=\frac{-b \pm \sqrt{(b)^2-4(a)(c)}}{2(a)}$

Donde,

a: Término cuadrático.

b: Término lineal

c: Término independiente

Por lo tanto,

$x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-7)}}{2(1)}$

Finalmente,

$\left \{ {{x=1+2\sqrt{2}} \atop {x=1-2\sqrt{2}}} \right.$

b.    $|2x + 4| < 10$

Para este caso, aplicando propiedad de los módulos, se tienen dos condiciones,

$-10<2x + 4<10$

• Condición 1: $2x + 4<10 \quad \rightarrow \quad x<3$

• Condición 2: $2x + 4>-10 \quad \rightarrow \quad x>-7$

c.    $|\frac{x-3}{x-4}|<\frac{5}{2}$

Al igual que la inecuación anterior, se tienen dos condiciones,

$-\frac{5}{2}<\frac{x-3}{x-4}<\frac{5}{2}$

• Condición 1: $\frac{x-3}{x-4}>-\frac{5}{2} \rightarrow \quad x<\frac{26}{7} \quad o \quad x>4$

• Condición 2: $\frac{x-3}{x-4}<\frac{5}{2} \rightarrow \quad x<4 \quad o \quad x>\frac{14}{3}$

d.    $\frac{4}{x+1}-\frac{3}{x+1}>1$

Igualamos a cero y despejamos,

$\frac{4x+8-3x-3}{(x+1)(x+2)}-1=0$

$\frac{x+5-(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}=0$

$\frac{x+5-(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}=0$

Agrupamos términos,

$\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)}=0$

Por lo tanto,

$-3<x<-2 \quad o \quad -1<x<1$

e.    $|x-1|\geq \frac{(x+1)}{2}$

Nuevamente, por propiedad de módulo, se tienen dos condiciones,

$-\frac{(x+1)}{2} \geq x-1 \geq \frac{(x+1)}{2}$

• Condición 1: $x-1 \geq \frac{(x+1)}{2} \rightarrow \quad x \geq 3$

• Condición 2: $x-1 \leq -\frac{(x+1)}{2} \rightarrow \quad x \leq 1$

Derterminando los conjuntos de la verdad de las desigualdades (Ver figuras adjuntas):

• Para p(x): $2+4x<6x+7$

$-2x+2<7\\-2x<5\\x>-\frac{5}{2}$

• Para q(x): $2 < 2x - 2 \leq 12$

$2+2 < 2x - 2 +2 \leq  12 +2\\4<2x\leq 14\\\frac{4}{2}<\frac{2x}{2}\leq \frac{14}{2}\\2<x\leq 7$

• Para p(x): $\frac{2x}{(x-4)}\leq 8$

$2x\leq 8x-32\\32\leq 6x\\x\geq \frac{16}{3}$

También debemos considerar el dominio del denominador,

$x<4$