Determinar el volumen de la mayor caja abierta que pueda fabricarse con un pieza de cartón de 24 pulgadas cuadradas, recortando cuadrados iguales a partir de las esquinas y doblado hacia arriba los lados ( Véase el Ejemplo 1 ).
Respuestas
Respuesta:
200 pulgadas cúbicas.
Explicación:
Considero como datos los que constan en la figura.
Al recortar cuadrados de lado x en los extremos, la base de la caja a construir tiene de dimensiones 24-2x de largo y 8-2x de ancho. Y como la altura de la caja es x, el volumen es
V(x) = (24-2x)(9-2x)x
Y derivando,
V’(x) = [24-2x]’ · (9-2x)x + (24-2x)[9-2x]’x + (24-2x)(9-2x)[x]’ =
-2 (9-2x)x + (24-2x)(-2)x + (24-2x)(9-2x)·1 =
-18x + 4x² - 48x + 4x² + 216 – 66x + 4x² =
12x² - 132x + 216
El máximo volumen se obtiene igualando la derivada a cero:
12x² - 132x + 216 = 0
o, simplificando por 12,
x² - 11·x + 18 = 0
D = 11² - 4·1·18 = 49.
Luego las soluciones son
x = (11 ± 7)/2,
x = 9 o x =2
Pero x = 9 no puede ser pues no podemos recortar 18 pulgadas de un lado que mide 9 pulgadas. Así que la única solución es x = 2, que corresponde a un máximo pues la derivada segunda de V(x) para x=2 es
V”(x) = 24·x - 132
V”(2) = 24·2 – 132 < 0
Y el volumen de la caja es
V(2) = (24-2·2)(9-2·2)·2 = 200 pulgadas cúbicas.