Question

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie uno consume cada semana un promedio de una unidad del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie dos consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro del alimento 2 y cinco del alimento 3. Para un pez de la especie tres el promedio semanal de consumo es de dos unidades del alimento uno, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento uno, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 del alimento 3. Asumimos que los peces se comen todo el alimento. Suponga que 1,2 y 3 son el número de peces de las especies uno que pueden cumplir las condiciones del problema.

Answer 1

Respuesta:

              x = 40000 - 5z

  v =       y = z - 5000

              z = 0

Explicación paso a paso:

hacemos un cuadro para tener las tres ecuaciones

                          especie 1      especie 2    especie 3

comida a               1                        3                 2             =   25000

comida b               1                        4                  1             =   20000

comida c               2                       5                  5            =   55000

y armamos nuestras ecuaciones:

x   + 3y + 2z  =  25000

x   + 4y + z     =  20000

2x + 5y + 5z  =  5500

(el proceso en la imagen)

de ahi solo tomamos la primera fila y reemplazamos

x  y  z  = 40000

1  0  5 = 40000

y despejamos

x + 5z = 40000

x= 40000 - 5z

seguidamente la segunda linea

x  +  y  +  z  =  -5000

0  +  1  + ( -1)  =  -5000

y despejamos

y - z = - 5000

y = z - 5000

por ultimo z = 0

entonces

             x = 40000 - 5z

  v =       y = z - 5000

              z = 0

esa es nuestra respuesta

Answer 2

En el lago hay:  

0    peces de la especie uno,  

3000    peces de la especie dos,    

8000    peces de la especie tres.

Desarrollo de la respuesta:  

¿Quiénes son las incógnitas?

Llamaremos:

A  =  cantidad de peces de la especie uno en el lago.

B  =  cantidad de peces de la especie dos en el lago.

C  =  cantidad de peces de la especie tres en el lago.

¿Cuáles son las ecuaciones?  

De la información aportada planteamos el sistema de ecuaciones:  

A  +  3B  +  2C  =  25000

2A  +  4B  +  C  =  20000

2A  +  5B  +  5C  =  55000

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:  

1.- Se construye una matriz con los coeficientes del sistema y se amplía con el vector de términos independientes :  

$\left[\begin{array}{cccc}1&3&2&25000\\2&4&1&20000\\2&5&5&55000\end{array}\right]$  

2.- Se realizan operaciones hasta lograr la forma triangular inferior de la matriz identidad. (diagonal principal rellena de unos y el resto rellena de ceros)  

Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la primera fila por -2 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por -2 y sumando a la tercera fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&3&2&25000\\0&-2&-3&-30000\\0&-1&1&5000\end{array}\right]$

Multiplicamos la segunda fila por -½ para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&3&2&25000\\0&1&\frac{3}{2}&15000\\0&-1&1&5000\end{array}\right]$

Con la segunda fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), sumando la segunda fila a la tercera fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&3&2&25000\\0&1&\frac{3}{2}&15000\\0&0&\frac{5}{2}&20000\end{array}\right]$

Multiplicamos la tercera fila por 2/5 para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&3&2&25000\\0&1&\frac{3}{2}&15000\\0&0&1&8000\end{array}\right]$

3.- A partir de esta matriz, se reescribe el sistema de ecuaciones recordando que las columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas en el orden A, B, C.

A  +  3B  +  2C  =  25000

0A  +  B  +  (3/2)C  =  15000

0A  +  0B  +  C  =  8000

4.- De aquí:

C  =  8000

B  +  (3/2)(8000)  =  15000        ⇒        B  =  3000

A  +  3(3000)  +  2(8000)  =  25000        ⇒        A  =  0

¿Cuántos peces de cada especie hay en el lago?

A  =  0    peces de la especie uno

B  =  3000    peces de la especie dos

C  =  8000    peces de la especie tres

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