Question

La respiració es cíclica y un ciclo respiratorio completo – desde el principio de la inhalación hasta
el final de la exhalación – requiere unos 5 segundos. El gasto máximo de aire que entra en los
pulmones es de más o menos 0.5 L/s. Esto explica en parte por qué a menudo se ha usado la función
f(t) = 1/2 sen(2 π t / 5)
para modelar el gasto de aire hacia los pulmones. Úselo para hallar el volumen de
aire inhalado en los pulmones en el tiempo t.

Answer 1

Resolviendo el planteamiento tenemos que el volumen del aire inhalado es de 0,0024 expresado mediante la función $V= (\frac{-5}{4\pi })cos(\frac{2\pi t }{5}) +\frac{5}{4\pi }$

◘Desarrollo:

Datos

G= 1/2 sen(2 π t / 5)

De acuerdo al criterio matemático sabemos que el gasto máximo viene dado por la derivada del volumen entre la derivada del tiempo:

$G=\frac{dV}{dt}$

Despejando dV y sustituyendo G:

$dV= G*dt$

$dV=\frac{1}{2}sen(\frac{2\pi t}{5})*dt$

Integrando a ambos lados:

$dV=\frac{1}{2}sen(\frac{2\pi t}{5})*dt$

$\int dV= \int \frac{1}{2}sen(\frac{2\pi t}{5})*dt$

$V= \frac{1}{2} \int sen(\frac{2\pi t}{5})dt$

Resolvemos la integral $\int sen(\frac{2\pi t}{5})dt$

u = 2πt/5

du = 2π/5 dt

dt = du/2π/5

dt= 5du/2π

Luego:

$V=\frac{1}{2}\int sen(u)\frac{5du}{2\pi}$

$V=\frac{5}{4\pi}\int sen(u)du$

$V=\frac{-5}{4\pi}cos(u)+C$

$V=\frac{-5}{4\pi}cos(\frac{2\pi t}{5})+C$

Sabemos que el comienzo de la inhalación marca t=0, hallamos C:

$V=\frac{-5}{4\pi}cos(0)+C$

$0=\frac{-5}{4\pi}cos(0)+C$

$\frac{5}{4\pi}=C$

Obtenemos la función que determina el gasto máximo de aire:

$V= (\frac{-5}{4\pi })cos(\frac{2\pi t }{5}) +\frac{5}{4\pi }$

Sustituimos en t=5

$V= (\frac{-5}{4*3,14 })cos(\frac{2*3,14* 5 }{5}) +\frac{5}{4*3,14 }$

$V= (-0,4)cos(6,28)+0,4$

$V= 0,0024$