Question

En la gura se muestra dos semicircunferencias de diametros AC y BD, que se intersecan en
P. Si AB = 3 y BC = 2, calcule la longitud de CD.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Circunferencia

$\textbf{Problema :}$

En la figura se muestra dos semicircunferencias de diametros AC y BD, que se intersecan en  P. Si AB = 3 y BC = 2 calcule la longitud de CD.

RESOLUCIÓN

Tracemos los radios de ambas circunferencias que tienen como punto común a $\textrm{P}$ asumamos ahora que $\textrm{m} \angle \textrm{MPB} = \beta$ y $\textrm{m} \angle \textrm{KPC} = \alpha$ Note ahora que $\textrm{MP} = \textrm{MC}$ y $\textrm{KP} = \textrm{KB}$ debido a que son radios de sus respectivas circunferencias.

Entonces $\textrm{m} \angle \textrm{MCP} = 45 + \beta$ y $\textrm{m} \angle \textrm{KBP} = 45 + \alpha$ enfocándonos en el triángulo $\triangle \textrm{BPC}$ donde debe cumplirse que $\alpha + \beta + 135 = 180$ entonces $\alpha + \beta = 45$

De todo esto se deduce que $\textrm{m} \angle \textrm{MPK} = 90$ y haciendo $\textrm{KC} = x$ y debido a que $\textrm{BC} = 2$ se consigue $\textrm{KP} = x+2$ y como $\textrm{MB} = 0,5$ entonces $\textrm{MK} = x + 2,5$ note además que el radio de la circunferencia menor es $r = \textrm{MP} = 2,5$ Ahora apliquemos el teorema de pitágoras para el triángulo $\triangle \textrm{MPK}$.

                                 $2,5^{2} + (x+2)^{2} = (x+2,5)^{2}$

La solución de esta ecuación es $x = 4$

Por lo tanto el radio de la circunferencia mayor es $R = 6$ entonces su diámetro es $D = 12$ y como se nos pide $\textrm{CD}$ y $\textrm{BC} = 2$ entonces $\textrm{CD} = 10$.

RESPUESTA

$\boxed{ \textrm{La longitud del segmento}\ \overline{ \textrm{CD} }\ \textrm{es 10 u} }$