un caja se debe diseñar a partir de un trozo de cartón de 10 pulgadas por 12 pulgadas recortando cuadrados congruentes de cada esquina del cartón y luego doblando las pestañas resultantes. sea x la longitud del lado del cuadrado que se elimina de cada esquina.
A. Encuentre el volumen V de la caja como una función de x. Incluir un dominio aplicado apropiado
B. Use una herramienta graficadora para representar y_= V(x) en el dominio que encontraste en el ítem (a) y aproxima las dimensiones de la caja con el volumen máximo con dos cifras decimales. ¿ cual es el volumen máximo de la caja)
he podido resolver el volumen en función de x pero el dominio aplicable seria (0,5) ?
porque estamos hablando de medidas por lo tanto x>0 pero x<5 porque al hacer los dos recortes de 5 pulgadas ya no podría armar la caja. Me falta la parte del dominio no se si este bien hecho y punto B que no lo entiendo. Gracias
Respuestas
Sea x el lado de cada cuadrado que se forma en las 4 esquinas del trozo de cartón.
A) El volumen de la caja (sin tapa) que se forma es:
V = (10 - 2 x) (12 - 2 x) x
Dado que el volumen debe ser positivo resulta que:
10 - 2 x > 0; implica x < 5
El dominio de la función volumen es el intervalo (0, 5)
B) Adjunto dibujo realizado con Derive 5
Según el gráfico el volumen máximo se aproxima a 96,74 pulg³
Corresponde para x ≅ 1,81 pulg.
Según la expresión del volumen:
V = (10 - 2 . 1,81) (12 - 2 . 1,81) . 1,81 = 96,77 pulg³
El volumen máximo se puede obtener analíticamente con el auxilio del cálculo diferencial. Lo incluyo por si sabes cálculo.
Una función es máxima (o mínima) en los puntos de primera derivada nula
V' = 12 x² - 88 x + 120 = 0; ecuación de segundo grado en x
Resulta x ≅ 1,8107; x ≅ 5,52 (fuera de dominio)
Resulta casi exactamente 1,81 (es 1,8107)
El dominio que aplicaste está bien. El volumen no es negativo.
Mateo
