Una progresión aritmética de 50 términos empieza por 9 y termina por 200. Calcular su diferencia y la suma de sus términos.
Calcula la suma de los mil primeros números pares y de los mil primeros números impares. ¿Cuál es mayor?
Respuestas
En la progresión aritmética la diferencia es d = 191/49 = 3.8979, la suma de los términos es: S50 = (9 + 200)*50/2 = 5225.
La suma de los primeros 1000 números pares es 997.002 y de los primeros 1000 números impares es 1.000.000
Es mayor la suma de los primeros mil números impares
Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un primer termino a1 y donde los siguientes términos se obtienen sumando al anterior por una constante llamada diferencia denotada con la letra d.
El nesimo término de una progresión geométrica es:
an = a1 + (n-1)*d
La suma de los términos de una progresión geométrica es:
Sn = (a1+ an)n/2
Tenemos que:
a1 = 9
a50 = 200 = 9 + 49*d
49d = 200 - 9 = 191
d = 191/49 = 3.8979
S50 = (9 + 200)*50/2 = 5225
Los números pares son los números que se pueden escribir de la forma 2k, para k un número entero, si queremos los 1000 primeros números pares tomamos los números positivo entonces k es mayor o igual a cero.
Por lo tanto: la suma de los primeros 1000 números pares, es la suma desde k = 0 hasta 998 de 2k (no se termina en 1000 pues se empieza en 0, ya que el 0 es par)
∑2k desde k = 0 hasta 998
= 2∑k desde k = 1 hasta 998
La suma de los números desde 1 hasta n es:
n*(n+1)/2
Entonces ∑k desde k = 1 hasta 998 es:
998*(998+1)/2 = 998*999/2 = 99*50 = 498501
Tenemos entonces que
2∑k desde k = 1 hasta 998
= 2*498501 = 997002
La suma de los primeros 1000 números pares es 997.002
Los números impares son los números que se pueden escribir de la forma 2k + 1, para k un número entero, si queremos los 100 primeros números impares tomamos los números positivo entonces k es mayor o igual a cero.
Por lo tanto: la suma de los primeros 1000 números impares es: la suma desde k = 0 hasta 999 de 2k+1
∑2k + 1 desde k = 0 hasta 999
= 2∑k + ∑1, k = 0 hasta 999
= 2∑k + 1000
= 2∑k + 1000 desde k = 1 hasta 999
La suma de los números desde 1 hasta n es:
n*(n+1)/2
Entonces ∑k desde k = 1 hasta 999 es:
999*(999+1)/2 = 999*1000/2 = 999*500 = 499500
Tenemos entonces que
2∑k + 1000 desde k = 1 hasta 99
= 2*499500 + 1000 = 999000 + 1000 = 1.000.000
La suma de los primeros 100 números impares es 1.000.000 y es mayor a la suma de los primeros 1000 números pares.
Respuesta: la suma de pares es 1001000
Explicación paso a paso: