Question

Considere el predicado p(x):2sin^2⁡(x)=1-cos⁡(x) y x∈[0,π]La suma de los elementos de Ap(x) es:

A) 8π/3
B) 3 π
C) 4π/3
D) 4π
E) 7π/3

Answer 1

La suma de los elementos de Ap(x) nos da: 2π/3

Explicación:

Tenemos la expresión: $2\sin \left(x\right)^2=1-cos\left(x\right)$

igualamos a cero

$2\sin ^2\left(x\right)+\cos \left(x\right)-1=0$

Usamos la siguiente identidad:

$\sin ^2\left(x\right)=1-\cos ^2\left(x\right)$

Nos queda:

$-1+\cos \left(x\right)+\left(1-\cos ^2\left(x\right)\right)\cdot \:2=0$

Simplificamos:

$1+\cos \left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)=0$

Realizamos un cambio de variable: $\cos \left(x\right)=u$

$1+u-2u^2=0$

Al resolver nos queda:

$u=-\frac{1}{2},\:u=1$

Devolvemos el cambio de variables

$\cos \left(x\right)=-\frac{1}{2},\:\cos \left(x\right)=1$

$\cos \left(x\right)=-\frac{1}{2}\quad :\quad x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,\:x=\frac{4\pi }{3}+2\pi n$

$\cos \left(x\right)=1\quad :\quad x=2\pi n$

Como x∈[0,π] la única solución deseada es:

x = 2π/3 y x = 0

Sumamos las dos soluciones:

Suma de los elementos = 2π/3 + 0 = 2π/3