Question

En un concurso de Matematica, Adriana y Enrique estaban empatado. La pregunta decisiva para el desempate pedia simplificar P(×) cuando tenga k términos y hallar numerador de P(×) cuando tenga 8 términos.

P(×)=
$\frac{1}{ {x}^{2} + x } + \frac{1}{ {x}^{2} + 3x + 2 } + \frac{1}{ {x}^{2} + 5x + 6} + ... + \frac{1}{ {x}^{2} + (2k - 1)x + {k}^{2} - k }$
-Adriana comentó: "Es
$\frac{(x + k)}{x(x - k)}$

y el numerador es
$x + 8$
-Enrique dijo "Es
$\frac{k}{x(x + k)}$

y el numerados es
$8$
1.Simplifica el primer sumando de P(×).
2.Calcula la expresión reducida de P(×).
3.¿Quién ganó el concurso? justifica tu respuesta​

Answer 1

Enrique ganó el concurso.

Explicación:

Para poder simplificar simplificar P(x) primero edbemos aplicar una serie de pasos para que se vea obvio el resultado, estos son:

1) Factorizar el polinomio del denominador

El primer paso, y uno de los más simples es el de factorizar el polinomio

$x^2 +(2n-1)x +n^2-n$, esto lo logramos haciendo uso de la fórmula general de segundo grado

$ax^2 +bx+c= 0\\x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

donde a = 1, b = 2n-1 y c = n^2 -n. Podemos observar lo siguiente$b^2 = (2n-1)^2 = 4n^2 -4n + 1\\-4ac = -4(n^2-n) = -4n^2+4n\\b^2 -4ac = (4n^2-4n+1) + (-4n^2+4n) = 1$

y x quedaría expresado de la siguiente manera,

$x = \frac{1-2n \pm 1}{2} = \frac{2-2n}{2} = 1-n , \frac{1-2n-1}{2} = -n$

y x^2 +(2n-1)x +n^2-n = (x+n)(x+n-1)

2) Aplicar el método de fracciones parciales

El método de fracciones parciales nos permite expresar nuestro sumando de la siguiente manera:

$\frac{1}{(x+n)(x+n-1)} = \frac{A}{x+n} + \frac{B}{x+n-1}$

Donde A y B son constantes que debemos hallar, para hacer esto debemos seguir dos simples pasos

• Realizar la suma cruzada de la expresión simplificada: lo que quedaría $\frac{A}{x+n} + \frac{B}{x+n-1} = \frac{A(x+n-1)+B(x+n)}{(x+n)(x+n-1)} = \frac{(A+B)x + [(A+B)n -A]}{(x+n)(x+n-1)}$
• Igualar los numeradores del polinomio original y la expresión: Esto es $(A+B)x + [(A+B)n -A] = 1 = 0x + 1$. Aquí vemos que necesariamente A+B = 0, lo que nos deja -A = 1 + A = -1. Y como A+B = 0, B = -A = -(-1) = 1

Habiendo hecho esto, nuestro polinomio queda de la siguiente manera:$\frac{-1}{x+n} + \frac{1}{x+n-1} = \frac{1}{x+n-1} - \frac{1}{x+n}$

3) Aplicar las series telescópicas

Por último, aquí es donde la mágica llega, P(x) es la suma de los k primeros polinomios de la forma descrita anteriormente, que después de todo el trabajo hecho queda de la siguiente manera

$P(x) = \sum_{n = 1}^{k}{ \frac{1}{x^2 +(2n-1)x +n^2-n} } = \sum_{n = 1}^{k}{ \frac{1}{x+n-1} - \frac{1}{x+n} } = \\\\( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) + ... (\frac{1}{x+k-2} - \frac{1}{x+k-1}) + (\frac{1}{x+k-1} - \frac{1}{x+k})$

Aquí vemos como casi todos los términos se cancelan, dejándonos únicamente con

$P(x)= \frac{1}{x}-\frac{1}{x+k} = \frac{x+k - x}{x(x+k)} = \frac{k}{x(x+k)}$